只有因“极限变量”导致的极限取值不同才叫极限不存在：因式子中其他变量取值不同导致的极限不同只能表现为“分段式极限存在”

一、题目

以下极限相关的式子中，哪些或者哪个的极限是存在的？

(1) $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(5x^5-3x^3+2)$.

(2) $\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x^2}\sin \frac{1}{x}$.

(3) 数列极限 $I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{\frac{a^n}{1+a^n}}$, 其中常数 $a>0$.

(4) $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^{x^2}$.

难度评级：

二、解析

(1)

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(5x^5-3x^3+2)=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}^5(5+\frac{3}{x^2}+\frac{2}{x^5})=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}5x^5=+\mathrm{\infty }$$

所以，该式子的极限不存在。

(2)

$\sin \frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 附近是有界震荡无极限，这就意味着，$\sin \frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 的邻域内有无数多个点等于 $1$, 也有无数多个点等于 $0$.

又由于 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x^2}$ 是无穷大，因此，当 $\sin \frac{1}{x}$ 取值为 $1$ 的时候 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x^2}\sin \frac{1}{x}=\mathrm{\infty }$. 但是，当 $\sin \frac{1}{x}$ 取值为 $0$ 的时候 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x^2}\sin \frac{1}{x}=0$.

综上，$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x^2}\sin \frac{1}{x}$ 的极限不存在。

(3)

已知：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}^{\frac{1}{n}}=a^0=1$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{q}^n=0,(|q|<1)$$

于是，当 $0<a<1$ 时：

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{\frac{a^n}{1+a^n}}=$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{a^n}{1+a^n}\right)}^{\frac{1}{n}}=$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}a\cdot {\left(\frac{1}{1+a^n}\right)}^{\frac{1}{n}}=a\cdot 1^0=a$$

当 $a>1$ 时：

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{\frac{a^n}{1+a^n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{a^n}{1+a^n}\right)}^{\frac{1}{n}}=$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{1}{\frac{1}{a^n}+1}\right)}^{\frac{1}{n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{1}{1+{\left(\frac{1}{a}\right)}^n}\right)}^{\frac{1}{n}}=1$$

当 $a=1$ 时：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{\frac{a^n}{1+a^n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{n}}=1$$

于是：

$$I=\{\begin{array}{ll}a,& 0<a<1\\ 1,& a⩾1\end{array}$$

上面这个式子虽然由于 $a$ 的取值不同导致极限不同，但是，由 “$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$” 可知，$n$ 才是真正的【极限变量】，由于在本式子中，极限变量 $n$ 在趋近于无穷大的时候，并没有导致极限不同，因此，本式子的极限是存在的。

(4)

方法一：

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^{x^2}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{e}^{x^2\ln (1+\frac{1}{x})}=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{e}^{\frac{\ln (1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{x}}}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{e}^{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{x}}}=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x=+\mathrm{\infty }$$

方法二：

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^{x^2}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\left[{(1+\frac{1}{x})}^x\right]}^x=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x=+\mathrm{\infty }$$

所以，该式子的极限不存在。

综上，只有第 (3) 个式子的极限是存在的。

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