只有因“极限变量”导致的极限取值不同才叫极限不存在：因式子中其他变量取值不同导致的极限不同只能表现为“分段式极限存在”

一、题目

以下极限相关的式子中，哪些或者哪个的极限是存在的？

(1) $\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(5 x^{5}-3 x^{3}+2\right)$.

(2) $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x}$.

(3) 数列极限 $I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{a^{n}}{1+a^{n}}}$, 其中常数 $a>0$.

(4) $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$.

难度评级：

二、解析

(1)

$$
\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(5 x^{5}-3 x^{3}+2\right)=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow \infty} x^{5}\left(5+\frac{3}{x^{2}}+\frac{2}{x^{5}}\right) =
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow \infty} 5 x^{5}=+\infty
$$

所以，该式子的极限不存在。

(2)

$\sin \frac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 附近是有界震荡无极限，这就意味着，$\sin \frac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 的邻域内有无数多个点等于 $1$, 也有无数多个点等于 $0$.

又由于 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}}$ 是无穷大，因此，当 $\sin \frac{1}{x}$ 取值为 $1$ 的时候 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x} = \infty$. 但是，当 $\sin \frac{1}{x}$ 取值为 $0$ 的时候 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x} = 0$.

综上，$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x}$ 的极限不存在。

(3)

已知：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a^{\frac{1}{n}}=a^{0}=1
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} q^{n}=0, \quad(|q|<1)
$$

于是，当 $0<a<1$ 时：

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{a^{n}}{1+a^{n}}}=
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a^{n}}{1+a^{n}}\right)^{\frac{1}{n}}=
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a \cdot\left(\frac{1}{1+a^{n}}\right)^{\frac{1}{n}}=a \cdot 1^{0}=a
$$

当 $a>1$ 时：

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{a^{n}}{1+a^{n}}}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a^{n}}{1+a^{n}}\right)^{\frac{1}{n}}=
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\frac{1}{a^{n}}+1}\right)^{\frac{1}{n}}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{1+\left(\frac{1}{a}\right)^{n}}\right)^{\frac{1}{n}}=1
$$

当 $a=1$ 时：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{a^{n}}{1+a^{n}}}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{n}}=1
$$

于是：

$$
I=\left\{\begin{array}{ll}a, & 0<a<1 \\ 1, & a \geqslant 1\end{array}\right.
$$

上面这个式子虽然由于 $a$ 的取值不同导致极限不同，但是，由 “$\lim \limits_{n \rightarrow \infty}$” 可知，$n$ 才是真正的【极限变量】，由于在本式子中，极限变量 $n$ 在趋近于无穷大的时候，并没有导致极限不同，因此，本式子的极限是存在的。

(4)

方法一：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} e^{x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} e^{\frac{\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}}}=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} e^{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} e^{x}=+\infty
$$

方法二：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right]^{x}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} e^{x}=+\infty
$$

所以，该式子的极限不存在。

综上，只有第 (3) 个式子的极限是存在的。

---