你能找出来这个隐藏在定积分下的函数吗？

一、题目

已知 $f(x)={\int }_0^1\ln \sqrt{x^2+t^2}\mathrm{d}t$, 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 点处连续吗？可导吗？

难度评级：

二、解析

本题的重点是计算出隐藏在定积分后面的真正的函数：

$$f(x)={\int }_0^1\ln \sqrt{x^2+t^2}\mathrm{d}t=$$

$${\int }_0^1\ln {(x^2+t^2)}^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}t=$$

$$\frac{1}{2}{\int }_0^1\ln (x^2+t^2)\mathrm{d}t=$$

分部积分：

$$\frac{1}{2}t\ln (x^2+t^2){\int }_{t=0}^{t=1}-\frac{1}{2}{\int }_0^1\frac{2t^2}{x^2+t^2}\mathrm{d}t=$$

$$\frac{1}{2}\ln (x^2+1)-{\int }_0^1\frac{t^2}{x^2+t^2}\mathrm{d}t=$$

参照分母改写分子：

$$\frac{1}{2}\ln (x^2+1)-{\int }_0^1\frac{x^2+t^2-x^2}{x^2+t^2}\mathrm{d}t=$$

$$\frac{1}{2}\ln (x^2+1)-{\int }_0^1\frac{x^2+t^2}{x^2+t^2}\mathrm{d}t+{\int }_0^1\frac{x^2}{x^2+t^2}\mathrm{d}t=$$

$$\frac{1}{2}\ln (x^2+1)-1+x^2{\int }_0^1\frac{1}{x^2+t^2}\mathrm{d}t=$$

$$\frac{1}{2}\ln (x^2+1)-1+x^2\cdot \frac{1}{x^2}\cdot x{\int }_0^1\frac{1}{{\left(\frac{t}{x}\right)}^2+1}\mathrm{d}\left(\frac{t}{x}\right)=$$

$$\frac{1}{2}\ln (x^2+1)-1+{x\arctan \left(\frac{t}{x}\right)|}_{t=0}^{t=1}=$$

$$\frac{1}{2}\ln (x^2+1)-1+x\arctan \frac{1}{x}-0$$

于是：

$$f(x)=\frac{1}{2}\ln (x^2+1)+x\arctan \frac{1}{x}-1,x\ne 0$$

接着，验证连续性：

$$\underset{x\to 0}{lim}f(x)=\frac{1}{2}\times 0+0-1=-1$$

$$x=0\Rightarrow f(0)={\int }_0^1\ln t\mathrm{d}t={t\ln t|}_0^1-{\int }_0^{1}1\mathrm{d}t=$$

$$1\times 0-0-{\int }_0^{1}1\mathrm{d}t=-{x|}_0^1=-1$$

即，函数 $f(x)$ 的表达式为：

$$
f(x)=\left{$$\begin{array}{l}\frac{1}{2}\ln (x^2+1)+x\arctan \frac{1}{x}-1,x\ne 0\\ -1,x=0\end{array}$$\right.
$$

因此可知，函数 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处连续。

连续不一定可导，因此，我们用一点处导数的定义验证是否可导：

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}[\frac{1}{2x}\ln (x^2+1)+\arctan \frac{1}{x}]=$$

$$0+\arctan (+\mathrm{\infty })=\frac{\pi }{2}$$

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{lim}[\frac{1}{2x}\ln (x^2+1)+\arctan \frac{1}{x}]=$$

$$0+\arctan (-\mathrm{\infty })=\frac{-\pi }{2}$$

由于：

$$\frac{\pi }{2}\ne \frac{-\pi }{2}$$

因此，函数 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处不可导。

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