判断一下这个加了绝对值得函数是否可导

一、题目

函数 $g(x)=\left|x^{3}-x-\sin x\right|$ 有多少个不可导的点？

难度评级：

二、解析

在解答本题之前，我们首先需要了解《如何判断一个函数的绝对值在某点处是否可导？一个简单的例子就可以让你记住相关定理》这篇文章中给出的相关结论。

首先，令：

$$
f(x) = x^{3}-x-\sin x
$$

则：

$$
f^{\prime}(x) = 3x^{2} – 1 – \cos x
$$

于是可知，函数 $f(x)$ 是可导的，因此，当 $x \neq 0$ 时，函数 $g(x)=\left|x^{3}-x-\sin x\right|$ 都是可导的。

那么，函数 $g(x)$ 的不可导点，只可能存在于其零点中。

于是，题目所给问题就转化成了，判断函数 $g(x)$ 有多少个零点——

由于加绝对值不影响零点的分布，因此，题目所给问题可以进一步转化为：函数 $f(x)$ 有多少个零点的问题

由于 $f(x) = x^{3}-x-\sin x$ 是一个奇函数，因此，其零点是关于原点对称的，因此，我们现在只需要考虑函数 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 区间上的零点的个数。

又：

$$
f(0) = 0
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = + \infty
$$

但是，我们此时不知道 $f(x)$ 的单调性，于是，我们现在不能判断 $f(x)$ 与 $X$ 轴有多少个交点（零点），因此，我们需要通过函数 $f(x)$ 的一阶导判断 $f(x)$ 的单调性：

$$
f^{\prime} (x) = 3x^{2} – 1 – \cos x
$$

又：

$$
f^{\prime}(0) = -2 < 0 \neq 0
$$

根据定理可知，$x = 0$ 是 $g(x)$ 的一个不可导点。

又：

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} f^{\prime}(x) = + \infty
$$

且：

$$
f^{\prime \prime}(x) = 6x + \sin x > 0, \ x \in (0, +\infty)
$$

因此，单调递增的一阶导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上一定存在唯一的一个点 $x_{0}$, 使得：

$$
f^{\prime}(x_{0}) = 0
$$

进而可知：

在 $(0, x_{0})$ 区间，$f^{\prime}(x) < 0$;

在 $(x_{0}, + \infty)$ 区间，$f^{\prime}(x) > 0$.

因此：

在 $(0, x_{0})$ 区间，$f(x)$ 单调递减；

在 $(x_{0}, + \infty)$ 区间，$f(x)$ 单调递增。

又：

$$
f(0) = 0
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = + \infty
$$

于是：

$$
f(x_{0}) < 0
$$

因此，在 $(x_{0}, + \infty)$ 区间上，一定存在唯一的一个点 $x_{1}$, 使得：

$$
f(x_{1}) = 0
$$

由奇函数零点的对称性又可知：

$$
f(-x_{1}) = 0
$$

但是，只有一个点 $x_{0}$ 能使 $f^{\prime}(x_{0}) = 0$, 因此：

$$
f^{\prime}(x_{1}) \neq 0
$$

进而可知，$x = x_{1}$ 是 $(0, +\infty)$ 区间上，函数 $g(x)$ 的一个不可导点。

同时，由于函数 $f(x)$ 是奇函数，则 $f^{\prime}(x)$ 就是偶函数，于是：

$$
f^{\prime}(x_{1}) = f^{\prime}(-x_{1}) \neq 0
$$

因此，点 $-x_{1}$ 是 $(- \infty, 0)$ 区间上，函数 $g(x)$ 的另一个不可导点。

综上可知，函数 $f(x)$ 有 $3$ 个零点，且通过前面的分析可知，函数 $g(x)$ 有 $3$ 个不可导点。

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