判断一下这个加了绝对值得函数是否可导

一、题目

函数 $g(x)=|x^3-x-\sin x|$ 有多少个不可导的点？

难度评级：

二、解析

在解答本题之前，我们首先需要了解《如何判断一个函数的绝对值在某点处是否可导？一个简单的例子就可以让你记住相关定理》这篇文章中给出的相关结论。

首先，令：

$$f(x)=x^3-x-\sin x$$

则：

$$f^{\prime }(x)=3x^2–1–\cos x$$

于是可知，函数 $f(x)$ 是可导的，因此，当 $x\ne 0$ 时，函数 $g(x)=|x^3-x-\sin x|$ 都是可导的。

那么，函数 $g(x)$ 的不可导点，只可能存在于其零点中。

于是，题目所给问题就转化成了，判断函数 $g(x)$ 有多少个零点——

由于加绝对值不影响零点的分布，因此，题目所给问题可以进一步转化为：函数 $f(x)$ 有多少个零点的问题

由于 $f(x)=x^3-x-\sin x$ 是一个奇函数，因此，其零点是关于原点对称的，因此，我们现在只需要考虑函数 $f(x)$ 在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 区间上的零点的个数。

又：

$$f(0)=0$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$$

但是，我们此时不知道 $f(x)$ 的单调性，于是，我们现在不能判断 $f(x)$ 与 $X$ 轴有多少个交点（零点），因此，我们需要通过函数 $f(x)$ 的一阶导判断 $f(x)$ 的单调性：

$$f^{\prime }(x)=3x^2–1–\cos x$$

又：

$$f^{\prime }(0)=-2<0\ne 0$$

根据定理可知，$x=0$ 是 $g(x)$ 的一个不可导点。

又：

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}^{\prime }(x)=+\mathrm{\infty }$$

且：

$$f^{\prime \prime }(x)=6x+\sin x>0,x\in (0,+\mathrm{\infty })$$

因此，单调递增的一阶导函数 $f^{\prime }(x)$ 在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 上一定存在唯一的一个点 $x_0$, 使得：

$$f^{\prime }(x_0)=0$$

进而可知：

在 $(0,x_0)$ 区间，$f^{\prime }(x)<0$;

在 $(x_0,+\mathrm{\infty })$ 区间，$f^{\prime }(x)>0$.

因此：

在 $(0,x_0)$ 区间，$f(x)$ 单调递减；

在 $(x_0,+\mathrm{\infty })$ 区间，$f(x)$ 单调递增。

又：

$$f(0)=0$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$$

于是：

$$f(x_0)<0$$

因此，在 $(x_0,+\mathrm{\infty })$ 区间上，一定存在唯一的一个点 $x_1$, 使得：

$$f(x_1)=0$$

由奇函数零点的对称性又可知：

$$f(-x_1)=0$$

但是，只有一个点 $x_0$ 能使 $f^{\prime }(x_0)=0$, 因此：

$$f^{\prime }(x_1)\ne 0$$

进而可知，$x=x_1$ 是 $(0,+\mathrm{\infty })$ 区间上，函数 $g(x)$ 的一个不可导点。

同时，由于函数 $f(x)$ 是奇函数，则 $f^{\prime }(x)$ 就是偶函数，于是：

$$f^{\prime }(x_1)=f^{\prime }(-x_1)\ne 0$$

因此，点 $-x_1$ 是 $(-\mathrm{\infty },0)$ 区间上，函数 $g(x)$ 的另一个不可导点。

综上可知，函数 $f(x)$ 有 $3$ 个零点，且通过前面的分析可知，函数 $g(x)$ 有 $3$ 个不可导点。

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