一点处的导数存在指的是该点处的左右导数都存在，但一点处的极限存在只需要一侧存在即是存在

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域有定义，且 $\underset{x\to 0}{lim}\phi (x)=0$, 则 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{f[\phi (x)]-f(0)}{\phi (x)}$ 存在是 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导的充分必要条件吗？

难度评级：

二、解析

首先，题目所问的问题其实就是 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{f[\phi (x)]-f(0)}{\phi (x)}$ 和 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x}$ 能否互相推导的问题。

分析可知，$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x}$ 存在意味着不无论是 $x\to 0^{+}$ 还是 $x\to 0^{-}$ 都要存在，也就是一点处的导数存在，则其左右导数均存在。

但是，$\underset{x\to 0}{lim}\phi (x)=0$ 并不能保证 $x$ 一定趋于 $0^{+}$ 或者 $x$ 一定趋于 $0^{-}$, 例如，当 $\phi (x)=x^2$ 时，只有：

$$\underset{x\to 0}{lim}\phi (x)\to 0^{+}$$

因此：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f[\phi (x)]-f(0)}{\phi (x)}\nRightarrow \underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x}$$

接着分析，当 $x\to 0$ 时，$\phi (x)$ 不一定是趋于零的，而可能是直接等于零，或者在部分点处直接等于零，例如当 $\phi (x)=0$ 或者当 $\phi (x)=x\sin \frac{1}{x}$ 时都存在这个情况，此时，由于分母不能等于零，于是可知：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x}\nRightarrow \underset{x\to 0}{lim}\frac{f[\phi (x)]-f(0)}{\phi (x)}$$

当然，如果我们限定了 $\phi (x)\to 0^{-}$ 和 $\phi (x)\to 0^{+}$ 都存在，则可以由 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{f[\phi (x)]-f(0)}{\phi (x)}$ 推出 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x}$.

同时，如果我们限定了 $\phi (x)\ne 0$, 则也可以由 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x}$ 推出 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{f[\phi (x)]-f(0)}{\phi (x)}$.

综上可知，$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f[\phi (x)]-f(0)}{\phi (x)}$ 存在是 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导既非充分也非必要条件。

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