一点处的导数存在指的是该点处的左右导数都存在,但一点处的极限存在只需要一侧存在即是存在

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 f(x)x=0 的某邻域有定义,且 limx0φ(x)=0, 则 limx0f[φ(x)]f(0)φ(x) 存在是 f(x)x=0 处可导的充分必要条件吗?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

首先,题目所问的问题其实就是 limx0f[φ(x)]f(0)φ(x)limx0f(x)f(0)x 能否互相推导的问题。

分析可知,limx0f(x)f(0)x 存在意味着不无论是 x0+ 还是 x0 都要存在,也就是一点处的导数存在,则其左右导数均存在。

但是,limx0φ(x)=0 并不能保证 x 一定趋于 0+ 或者 x 一定趋于 0, 例如,当 φ(x)=x2 时,只有:

limx0φ(x)0+

因此:

limx0f[φ(x)]f(0)φ(x)limx0f(x)f(0)x

接着分析,当 x0 时,φ(x) 不一定是趋于零的,而可能是直接等于零,或者在部分点处直接等于零,例如当 φ(x)=0 或者当 φ(x)=xsin1x 时都存在这个情况,此时,由于分母不能等于零,于是可知:

limx0f(x)f(0)xlimx0f[φ(x)]f(0)φ(x)

当然,如果我们限定了 φ(x)0φ(x)0+ 都存在,则可以由 limx0f[φ(x)]f(0)φ(x) 推出 limx0f(x)f(0)x.

同时,如果我们限定了 φ(x)0, 则也可以由 limx0f(x)f(0)x 推出 limx0f[φ(x)]f(0)φ(x).

综上可知,limx0f[φ(x)]f(0)φ(x) 存在是 f(x)x=0 处可导既非充分也非必要条件。


荒原之梦考研数学思维导图
荒原之梦考研数学思维导图

高等数学箭头 - 荒原之梦

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。

线性代数箭头 - 荒原之梦

以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。

特别专题箭头 - 荒原之梦

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。

荒原之梦考研数学网 | 让考场上没有难做的数学题!

荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress