题目
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程：
$$
\left\{\begin{matrix}
x = \frac{1}{3}t^{3} + t + \frac{1}{3},\\
y = \frac{1}{3}t^{3} – t + \frac{1}{3}
\end{matrix}\right.
$$
确定，求 $y=y(x)$ 的极值和曲线 $y=y(x)$ 的凹、凸区间及拐点。
解析
要解答本题首先要清楚以下概念：
1.极值点是函数的增减性（或“单调性”）发生改变的点，即该函数一阶导的正负发生改变的点。同时，函数二阶导为正的点是极小值点，函数二阶导为负的点是极大值点；
2.拐点是函数的凹凸性发生改变的点，即该函数二阶导的正负发生改变的点。同时，使函数二阶导为正的自变量区间是该函数的凹区间，使函数二阶导为负的自变量区间是该函数的凸区间。
由题得：
$$
\frac{dy}{dx} =
$$
$$
\frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} =
$$
$$
\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} =
$$
$$
\frac{t^{2}-1}{t^{2}+1}.
$$
令：
$$
\frac{t^{2}-1}{t^{2}+1} = 0.
$$
则：
$$
t^{2} – 1 = 0 \Rightarrow
$$
$$
t = 1 或 t = -1.
$$
又：
$$
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=
$$
$$
\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx} =
$$
$$
\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} =
$$
$$
\frac{\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dt}}{\frac{dx}{dt}} =
$$
$$
\frac{\frac{2t(t^{2}+1)-2t(t^{2}-1)}{(t^{2}+1)^{2}}}{t^{2}+1} =
$$
$$
\frac{4t}{(t^{2}+1)^{3}}.
$$
当 $t = 1$ 时，$x = \frac{5}{3}$, $y = -\frac{1}{3}$, $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{1}{2} > 0$.
于是，当 $x = \frac{5}{3}$ 时，函数 $y = y(x)$ 取得极小值 $y = – \frac{1}{3}$.
当 $t = -1$ 时，$x = -1$, $y=1$, $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -\frac{1}{2} < 0$.
于是，当 $x = -1$ 时，函数 $y = y(x)$ 取得极大值 $y = 1$.
若令：
$$
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 0
$$
则：
$$
t=0.
$$
同时，当 $t=0$ 的时候，$x=\frac{1}{3}$, 且当 $t<0$ 的时候，$x<\frac{1}{3}$, 当 $t>0$ 的时候，$x>\frac{1}{3}$.
于是：
当 $t<0$ 的时候，$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}<0$, 即函数 $y=y(x)$ 的凸区间为 $(- \infty, \frac{1}{3})$;
当 $t>0$ 的时候，$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}>0$, 即函数 $y = y(x)$ 的凹区间为 $(\frac{1}{3}, + \infty)$.
又因为：
当 $t = 0$ 的时候 $y = \frac{1}{3}$, 因此，函数 $y=y(x)$ 的拐点为 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$.