题目没问是极大值点还是极小值点的时候也要求解二阶导——因为一阶导等于零的点不一定有极值

一、题目

已知 $y=y(x)$ 是由方程 $2y^3-2y^2+2xy-x^2=1$ 确定的，则 $y=y(x)$ 的极值点是多少？

难度评级：

二、解析

首先找到使 $y=y(x)$ 一阶导等于零的点：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& 2y^3-2y^2+2xy-x^2=1\Rightarrow \end{array}$$

左右两边同时对 $x$ 求导：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& 6y^2\cdot y^{\prime }-4y\cdot y^{\prime }+2y+2x{y}^{\prime }-2x=0\Rightarrow \end{array}$$

$$y^{\prime }=0\Rightarrow$$

$$2y-2x=0\Rightarrow x=y$$

将 $y=x$ 代入到 $(1)$ 式中：

$$2x^3-2x^2+2x^2-x^2=1\Rightarrow$$

$$2x^3-x^2=1\Rightarrow x^2(2x-1)=1\Rightarrow x=y=1$$

根据《一阶等于零的点不一定是极值点》这篇文章可知，我们需要继续求导，找到二阶导以验证一阶导等于零的点是否是极值点：

对 $(2)$ 式进行整理在其左右两边同时对 $x$ 求导：

$$y^{\prime }(6y^2-4y+2x)+2y-2x=0\Rightarrow$$

$$y^{\prime \prime }(6y^2-4y+2x)+y^{\prime }(12y\cdot y^{\prime }-4y^{\prime }+2)+$$

$$2y^{\prime }-2=0\Rightarrow$$

$$x=1,y=1,y^{\prime }=0\Rightarrow$$

$$y^{\prime \prime }(6-4+2)-2=0\Rightarrow 4y^{\prime \prime }=2\Rightarrow$$

$$y^{\prime \prime }=\frac{1}{2}>0$$

于是可知，$(1,1)$ 或者说 $x=1$ 是函数 $y=y(x)$ 的极值点，而且是极小值点。

---