极限型函数求间断点:先求出具体表达式

一、题目题目 - 荒原之梦

已知函数 f(x)=limnxn+222n+x2n, 则函数 f(x) 在其定义域内有无间断点?如果有间断点,是什么类型的间断点?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

已知:

f(x)=limnxn+222n+x2n

分析可知,判断有无间断点以及间断点的类型主要集中在对分母部分的分析,而分母最终的值,就取决于 22nx2n 中较大的那一个,因此,我们需要分类讨论:

1

|x|<2

f(x)=limnxn+22n1+(x2)2n|x2|<1limn(x2)2n=0

又,当 |x|<2 时,limnxn+2limn2n, 于是:

f(x)=limnxn+22n=0

2

|x|>2

f(x)=limnxn+2|x|n(2x)2n+1

limn(2x)2n=0.

x>2 时:

f(x)=limnxnx2xn1=x2

x<2 时:

f(x)=limnxnx2(x)n1=(1)nx2

3

x=2

f(2)=limn2n+222n+1=limn22(n+2)22n+1=22

于是:

f(x)={0,2<x<222,x=2x2,x>2

limx2f(x)=0,limx2f(x)=22,limx2+f(x)=4

综上可知,函数 f(x) 有一个跳跃间断点,位于 x=2 处。


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