极限型函数求间断点：先求出具体表达式

一、题目

已知函数 $f(x)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x^{n+2}}{\sqrt{2^{2 n}+x^{2 n}}}$, 则函数 $f(x)$ 在其定义域内有无间断点？如果有间断点，是什么类型的间断点？

难度评级：

二、解析

已知：

$$
f(x)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x^{n+2}}{\sqrt{2^{2 n}+x^{2 n}}}
$$

分析可知，判断有无间断点以及间断点的类型主要集中在对分母部分的分析，而分母最终的值，就取决于 $2^{2 n}$ 和 $x^{2 n}$ 中较大的那一个，因此，我们需要分类讨论：

1

$$
|x|<2 \Rightarrow
$$

$$
f(x)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x^{n+2}}{2^{n} \sqrt{1+\left(\frac{x}{2}\right)^{2 n}}} \Rightarrow\left|\frac{x}{2}\right|<1 \Rightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x}{2}\right)^{2 n}=0 \Rightarrow
$$

又，当 $|x|<2$ 时，$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x^{n+2} \ll \lim \limits_{n \rightarrow \infty} 2^{n}$, 于是：

$$
f(x)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x^{n+2}}{2^{n}}=0
$$

2

$$
|x|>2 \Rightarrow
$$

$$
f(x)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x^{n+2}}{| x |^{n} \sqrt{\left(\frac{2}{x}\right)^{2 n}+1}} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2}{x}\right)^{2 n}=0 .
$$

当 $x>2$ 时：

$$
f(x)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x^{n} \cdot x^{2}}{x^{n} \cdot 1}=x^{2}
$$

当 $x<-2$ 时：

$$
f(x)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x^{n} \cdot x^{2}}{(-x)^{n} \cdot 1}=(-1)^{n} \cdot x^{2} \Rightarrow 极限不存在
$$

3

$$
x=2 \Rightarrow
$$

$$
f(2)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n+2}}{\sqrt{2^{2 n+1}}}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{2^{2(n+2)}}{2^{2 n+1}}}=2 \sqrt{2}
$$

于是：

$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & -2 < x <2 \\ 2 \sqrt{2}, & x=2 \\ x^{2}, & x > 2\end{array} \quad \Rightarrow\right.
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=0, \quad \lim \limits_{x \rightarrow 2} f(x)=2 \sqrt{2}, \quad \lim \limits_{x \rightarrow 2^{+}} f(x)=4
$$

综上可知，函数 $f(x)$ 有一个跳跃间断点，位于 $x = 2$ 处。

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