可导必连续：连续不一定可导，不连续一定不可导

一、题目

已知 $f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^2,& x⩽0,\\ x^a\sin \frac{1}{x},& x>0,\end{array}$ 若 $f(x)$ 可导，则 $\alpha$ 应满足什么条件？若 $f^{\prime }(x)$ 连续，则 $\alpha$ 应满足什么条件？

难度评级：

二、解析

第一问

若 $f(x)$ 可导，则必有：

$$f^{\prime }\left(0^{-}\right)=f^{\prime }\left(0^{+}\right)$$

又：

$$f^{\prime }\left(0^{-}\right)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(\mathrm{\Delta }x)-f(0)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}{\mathrm{\Delta }x}=0.$$

$$f^{\prime }\left(0^{+}\right)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(\mathrm{\Delta }x)-f(0)}{\mathrm{\Delta }x}=$$

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{(\mathrm{\Delta }x{)}^{\alpha }\sin \frac{1}{\mathrm{\Delta }x}-0}{\mathrm{\Delta }x}=f^{\prime }\left(0^{-}\right)=0\Rightarrow$$

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{(\mathrm{\Delta }x{)}^{\alpha }}{\mathrm{\Delta }x}\cdot \sin \frac{1}{\mathrm{\Delta }x}=0\Rightarrow \alpha >1$$

Tips

根据《有界震荡无极限与无界震荡无极限》可知，$\sin \frac{1}{\mathrm{\Delta }x}$ 是有界震荡无极限函数，则：$0\cdot \sin \frac{1}{\mathrm{\Delta }x}=0$.

同时，下文中的计算过程还会用到上述原理。

第二问

由题可知：

$${(x^{\alpha }\sin \frac{1}{x})}^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1}\sin \frac{1}{x}+x^{\alpha }\cdot \frac{-1}{x^2}\cos \frac{1}{x}=0\Rightarrow$$

于是，若要使 $f^{\prime }(x)$ 在点 $x=0$ 处连续，则：

$$\{\begin{array}{l}\alpha x^{\alpha -1}=0;\\ -x^{\alpha -2}=0\end{array}\Rightarrow \alpha >2$$

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