可导必连续:连续不一定可导,不连续一定不可导

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 f(x)={x2,x0,xasin1x,x>0,f(x) 可导,则 α 应满足什么条件?若 f(x) 连续,则 α 应满足什么条件?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

第一问

f(x) 可导,则必有:

f(0)=f(0+)

又:

f(0)=limΔx0f(Δx)f(0)Δx=limΔx0(Δx)2Δx=0.

f(0+)=limΔx0f(Δx)f(0)Δx=

limΔx0(Δx)αsin1Δx0Δx=f(0)=0

limΔx0(Δx)αΔxsin1Δx=0α>1

Tips

根据《有界震荡无极限与无界震荡无极限》可知,sin1Δx 是有界震荡无极限函数,则:0sin1Δx=0.

同时,下文中的计算过程还会用到上述原理。

第二问

由题可知:

(xαsin1x)=αxα1sin1x+xα1x2cos1x=0

于是,若要使 f(x) 在点 x=0 处连续,则:

{αxα1=0;xα2=0α>2


荒原之梦考研数学思维导图
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