这道三角函数极限题你能秒解吗

一、题目

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{{[\sin (\frac{\pi }{4}+\frac{1}{n})]}^n+{[\sin (\frac{\pi }{2}+\frac{1}{n})]}^n\}=?$$

难度评级：

二、解析

秒解法

已知：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{{[\sin (\frac{\pi }{4}+\frac{1}{n})]}^n+{[\sin (\frac{\pi }{2}+\frac{1}{n})]}^n\}.$$

又：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sin (\frac{\pi }{4}+\frac{1}{n})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sin (\frac{\pi }{4}+0)=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}<1$$

且：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sin (\frac{\pi }{2}+\frac{1}{n})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sin (\frac{\pi }{2}+0)=\sin \frac{\pi }{2}=1$$

则：

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{1}^n=0+1=1$$

严谨解法

对于 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{[\sin (\frac{\pi }{4}+\frac{1}{n})]}^n$:

当 $n>4$ 时，有：

$$\frac{\pi }{4}<\frac{\pi }{4}+\frac{1}{n}<\frac{\pi }{3}$$

于是：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{[\sin \frac{\pi }{4}]}^n<\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{[\sin (\frac{\pi }{4}+\frac{1}{n})]}^n<\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{[\sin \frac{\pi }{3}]}^n\Rightarrow$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left[\frac{\sqrt{2}}{2}\right]}^n<\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{[\sin (\frac{\pi }{4}+\frac{1}{n})]}^n<\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left[\frac{\sqrt{3}}{2}\right]}^n\Rightarrow$$

$$0<\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{[\sin (\frac{\pi }{4}+\frac{1}{n})]}^n<0\Rightarrow$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sin (\frac{\pi }{4}+\frac{1}{n})=0.$$

对于 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{[\sin (\frac{\pi }{2}+\frac{1}{n})]}^n$:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{[\sin (\frac{\pi }{2}+\frac{1}{n})]}^n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(\cos \frac{1}{n})}^n=$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(\cos \frac{1}{n}-1+1)}^{\frac{1}{\cos \frac{1}{n}-1}\cdot n(\cos \frac{1}{n}-1)}=$$

$$e^{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n(\cos \frac{1}{n}-1)}$$

又：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n(\cos \frac{1}{n}-1)$$

于是：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\cos \frac{1}{n}-1}{\frac{1}{n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n}}=\frac{-1}{2n}=0$$

即：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(\cos \frac{1}{n})}^n=e^0$$

综上可知：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{{[\sin (\frac{\pi }{4}+\frac{1}{n})]}^n+{[\sin (\frac{\pi }{2}+\frac{1}{n})]}^n\}=0+1=1.$$

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