极限存在的函数和极限不存在的函数放一块时极限是存在还是不存在呢：这几个特例很好用

一、题目

已知 $\lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=A, \lim \limits_{x \rightarrow a} g(x)$ 不存在，$\lim \limits_{x \rightarrow a} h(x)$ 不存在，则以下命题中，正确的是哪个？

(A) $\lim \limits_{x \rightarrow a}(f(x) \cdot g(x))$ 不存在.

(B) $\lim \limits_{x \rightarrow a}(g(x)+h(x))$ 不存在.

(C) $\lim \limits_{x \rightarrow a}(h(x) \cdot g(x))$ 不存在.

(D) $\lim \limits_{x \rightarrow a}(g(x)+f(x))$ 不存在.

难度评级：

二、解析

A 选项

若令 $f(x) = 0$, $g(x) = \begin{cases}
-1, & x > 0; \
1, & x<0
\end{cases}$, 则：

$$
f(x) \cdot g(x) = 0
$$

于是可知，此时 $f(x) \cdot g(x)$ 的极限存在，因此 $A$ 选项错误。

B 和 C 选项

接着，可令：

$$
h(x) = \begin{cases}
1, & x > 0; \
-1, & x<0
\end{cases}
$$

$$
g(x) = \begin{cases}
-1, & x > 0; \
1, & x<0
\end{cases}
$$

则：

$$
h(x) \cdot g(x) = -1
$$

$$
h(x) + g(x) = 0
$$

即 $f(x) \cdot g(x)$ 和 $f(x) + g(x)$ 的极限都存在，因此，$B$ 和 $C$ 选项都错。

D 选项

对于 $D$ 选项，假如 $g(x)+f(x)$ 极限存在，且 $f(x)$ 的极限存在，则下式的极限也存在：

$$
f(x) + g(x) – f(x) = g(x)
$$

但由题可知，$g(x)$ 的极限不存在，因此，反推可知，$g(x)+f(x)$ 的极限不存在。

综上可知，只有 $D$ 选项对应的命题正确。

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