披着数列极限外衣的函数无穷小问题：但是不能直接用等价无穷小公式哦

一、题目

当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时,数列 ${(1+\frac{1}{n})}^n-\mathrm{e}$ 是 $\frac{1}{n}$ 的等价无穷小吗？

难度评级：

二、解析

解法一：转为函数极限后用洛必达求解

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{(1+\frac{1}{n})}^n-e}{\frac{1}{n}}\Rightarrow x=\frac{1}{n}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{(1+x{)}^{\frac{1}{x}}-e}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^{\frac{1}{x}\ln (1+x)}-e}{x}\Rightarrow \frac{0}{0}\Rightarrow$$

洛必达运算：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\left[\frac{\ln (1+x)}{x}\right]}^{\prime }{e}^{\frac{1}{x}\ln (1+x)}}{1}$$

又：

$$\underset{x\to 0}{lim}{e}^{\frac{1}{x}\ln (1+x)}=e$$

$$\underset{x\to 0}{lim}{\left[\frac{\ln (1+x)}{x}\right]}^{\prime }=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{x}{1+x}-\ln (1+x)}{x^2}=\frac{x-(1+x)\ln (1+x)}{(1+x)x^2}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{[x-\ln (1+x)]-x\ln (1+x)}{x^2+x^3}=\frac{\frac{1}{2}{x}^2-x^2}{x^2}=\frac{-1}{2}$$

于是：

$$I=\frac{-e}{2}.$$

方法二：先用等价无穷小的变体，再用洛必达

由题可得：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{(1+\frac{1}{n})}^n-e}{\frac{1}{n}}\Rightarrow e\cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{{(1+\frac{1}{n})}^n}{e}-1}{\frac{1}{n}}.$$

又由等价无穷小（$x\to 0$）公式 $\ln (1+x)\sim x$, 可得：

$$\underset{x\to 1}{lim}(x-1)\sim \underset{x\to 1}{lim}\ln [(x-1)+1]\sim \underset{x\to 1}{lim}\ln x.$$

Tips

关于上面这个等价代换的详细内容可以参考《只有当 x 趋于零的时候才能用等价无穷小代换吗？不，x 趋于 1 的时候也可以试试看》

又：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{(1+\frac{1}{n})}^n}{e}=\frac{e}{e}\Rightarrow 1\Rightarrow$$

于是：

$$e\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{{(1+\frac{1}{n})}^n}{e}-1}{\frac{1}{n}}=e\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln \left[\frac{{(1+\frac{1}{n})}^n}{e}\right]}{\frac{1}{n}}\Rightarrow$$

把 $\ln \left[\frac{{(1+\frac{1}{n})}^n}{e}\right]$ 展开：

$$e\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n\ln (1+\frac{1}{n})-1}{\frac{1}{n}}\Rightarrow$$

分子分母同除以 $n$:

$$e\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{n\ln (1+\frac{1}{n})}{n}-\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}}=e\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln (1+\frac{1}{n})-\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}}.$$

令 $x=\frac{1}{n}$, 则：

$$e\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+x)-x}{x^2}\Rightarrow$$

洛必达运算：

$$e\cdot \underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{1+x}-1}{2x}=e\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-1-x}{2x(1+x)}=e\underset{x\to 0}{lim}\frac{-x}{2x+2x^2}=$$

$$e\underset{x\to 0}{lim}\frac{-x}{2x}=\frac{-e}{2}.$$

方法三：先用等价无穷小的变体，再用泰勒公式

首先，当 $x\to 0$ 时，有如下泰勒公式：

$$\ln (1+x)=x-\frac{1}{2}{x}^2+o\left(x^2\right).$$

于是：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{(1+\frac{1}{n})}^n-e}{\frac{1}{n}}\Rightarrow x=\frac{1}{n}\Rightarrow \underset{x\to 0}{lim}\frac{(1+x{)}^{\frac{1}{x}}-e}{x}=$$

$$e\cdot \underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{(1+x{)}^{\frac{1}{x}}}{e}-1}{x}=e\cdot \underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln \left[\frac{(1+x{)}^{\frac{1}{x}}}{e}\right]}{x}=$$

$$e\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{x}\ln (1+x)-1}{x}=$$

代入泰勒公式：

$$e^{\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{x}(x-\frac{1}{2}{x}^2)-1}{x}}=$$

$$e\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\frac{1}{2}x-1}{x}=\frac{-e}{2}.$$

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