乘、除、加、积分、求导对无穷小阶数的影响

一、题目题目 - 荒原之梦

xaf(x)g(x) 分别是 xan 阶与 m 阶无穷小, 则下列命题:

(1) f(x)g(x)xan+m 阶无穷小.

(2)n>m, 则 f(x)g(x)xanm 阶无穷小.

(3)nm, 则 f(x)+g(x)xan 阶无穷小.

(4)f(x) 连续, 则 axf(t)dtxan+1 阶无穷小.

(5)n2 时,f(x)xan1 阶无穷小.

中, 正确的是哪几个?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

首先说结论,正确的命题是:

(1), (2), (4), (5).

即,只有命题 (3) 是错误的。

由题可知:

limxaf(x)(xa)n=A0,limxag(x)(xa)m=B0

逐项分析如下:

(1) 个命题:

limxaf(x)(xa)nlimxag(x)(xa)m

limxaf(x)g(x)(xa)n+m=AB0

于是可知 f(x)g(x)xan+m 阶无穷小,命题 (1) 正确。

(2) 个命题:

limxaf(x)g(x)=limxaf(x)(xa)nlimxa(xa)mg(x)=AB0

limxaf(x)g(x)limxa(xa)m(xa)n=AB

limxaf(x)g(x)limxa(xa)mn=AB

limxaf(x)g(x)(xa)nm=AB.

于是可知,若 n>m, 则 f(x)g(x)xanm 阶无穷小,命题 (2) 正确。

(3) 个命题:

limxaf(x)+g(x)(xa)n=limxaf(x)(xa)n+limxag(x)(xa)m(xa)mn=

$$
\left{A+B00,n<mA+B1,n=m\right.
$$

Tips:

g(x)(xa)m(xa)mn = g(x)(xa)mn(xa)m = g(x)(xa)n1 = g(x)(xa)n.

于是可知,当 A+B0 时(A+B 此时是一个确定的非零数字),f(x)+g(x) 的极限存在,即 f(x)+g(x)xan 阶无穷小。

但是,当 A+B=0 时,f(x)+g(x) 的极限就不存在了,此时,f(x)+g(x) 一定是关于 xa 的,高于 n 的无穷小。

例如:

sinxx=1

xx=1

但是:

sinx+(x)x3=16.


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