乘、除、加、积分、求导对无穷小阶数的影响

一、题目

设 $x \rightarrow a$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 分别是 $x-a$ 的 $n$ 阶与 $m$ 阶无穷小, 则下列命题：

$(1)$ $f(x) g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n+m$ 阶无穷小.

$(2)$ 若 $n>m$, 则 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $x-a$ 的 $n-m$ 阶无穷小.

$(3)$ 若 $n \leqslant m$, 则 $f(x)+g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n$ 阶无穷小.

$(4)$ 若 $f(x)$ 连续, 则 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 $x-a$ 的 $n+1$ 阶无穷小.

$(5)$ 当 $n \geqslant 2$ 时，$f^{\prime}(x)$ 是 $x – a$ 的 $n-1$ 阶无穷小.

中, 正确的是哪几个？

难度评级：

二、解析

首先说结论，正确的命题是：

$(1)$, $(2)$, $(4)$, $(5)$.

即，只有命题 $(3)$ 是错误的。

由题可知：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{(x-a)^{n}}=A \neq 0, \quad \lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{g(x)}{(x-a)^{m}}=B \neq 0
$$

逐项分析如下：

第 $(1)$ 个命题：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{(x-a)^{n}} \cdot \lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{g(x)}{(x-a)^{m}} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x) \cdot g(x)}{(x-a)^{n+m}}=A \cdot B \neq 0
$$

于是可知 $f(x) g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n+m$ 阶无穷小，命题 $(1)$ 正确。

第 $(2)$ 个命题：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{(x-a)^{n}} \cdot \lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{(x-a)^{m}}{g(x)}=\frac{A}{B} \neq 0 \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} \cdot \lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{(x-a)^{m}}{(x-a)^{n}}=\frac{A}{B} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} \cdot \lim \limits_{x \rightarrow a}(x-a)^{m-n}=\frac{A}{B} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{\frac{f(x)}{g(x)}}{(x-a)^{n-m}}=\frac{A}{B} .
$$

于是可知，若 $n>m$, 则 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $x-a$ 的 $n-m$ 阶无穷小，命题 $(2)$ 正确。

第 $(3)$ 个命题：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)+g(x)}{(x-a)^{n}}=\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{(x-a)^{n}}+\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{g(x)}{(x-a)^{m}} \cdot (x-a)^{m-n} =
$$

$$
\left{\begin{array}{l}
A+B \cdot 0 \neq 0, n<m \\
A+B \cdot 1, n=m
\end{array}\right.
$$

Tips:

$\frac{g(x)}{(x-a)^{m}} \cdot (x-a)^{m-n}$ $=$ $\frac{g(x) \cdot (x-a)^{m-n}}{(x-a)^{m}}$ $=$ $\frac{g(x) \cdot (x-a)^{-n}}{1}$ $=$ $\frac{g(x)}{(x-a)^{n}}$.

于是可知，当 $A+B \neq 0$ 时（$A + B$ 此时是一个确定的非零数字），$f(x) + g(x)$ 的极限存在，即 $f(x)+g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n$ 阶无穷小。

但是，当 $A + B =0$ 时，$f(x) + g(x)$ 的极限就不存在了，此时，$f(x) + g(x)$ 一定是关于 $x-a$ 的，高于 $n$ 的无穷小。

例如：

$$
\frac{\sin x}{x} = 1
$$

$$
\frac{-x}{x} = 1
$$

但是：

$$
\frac{\sin x + (-x)}{x^{3}} = \frac{-1}{6}.
$$

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