一、题目
已知函数 $g(x)$ 在 $x=a$ 点处连续，且函数 $f(x)=|x-a| g(x)$ 在 $x=a$ 点处可导, 则 $g(a)$ 需要满足什么条件？
难度评级：
二、解析 
方法 1
当 $x>a$ 时：
$$
f(x)=(x-a) g(x) \Rightarrow
$$
$$
f(x)=x g(x)-a g(x)
$$
当 $x<a$ 时：
$$
f(x)=(a-x) g(x) \Rightarrow
$$
$$
f(x)=a g(x)-x g(x)
$$
又由“可导必连续”的原则可知：
$$
f\left(a^{-}\right)=f\left(a^{+}\right)
$$
且有：
$$
f\left(a^{-}\right)=0^{-} \cdot g(a)
$$
$$
f\left(a^{+}\right)=0^{+} \cdot g(a)
$$
于是，必须有：
$$
g(a)=0.
$$
方法 2
Tips:
一点处的导数若存在，则必须有左导数值等于右导数值。
根据一点处导数的定义，可得：
$$
f^{\prime}(a)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \Rightarrow
$$
$$
f^{\prime}(a)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{|a+h-a| \cdot g(a+h)-0}{h} \Rightarrow
$$
$$
f^{\prime}(a)=\frac{|h|}{h} \cdot g(a+h).
$$
又由于函数 $g(x)$ 在 $x=a$ 点处连续，可得：
$$
\lim \limits_{h \rightarrow 0} g(a+h)=g(a).
$$
Tips:
函数在一点处连续，就是说函数在该点“附近”没有“空隙”。
于是：
$$
f^{\prime}(a)=\frac{|h|}{h} \cdot g(a) .
$$
又：
$$
\lim \limits_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{|h|}{h}=1
$$
$$
\lim \limits_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{|h|}{h}=-1
$$
于是，只能有：
$$
f^{\prime}(a)=\frac{|h|}{h} \cdot 0=0 \Rightarrow g(a)=0.
$$
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