只要坚持导数存在则“左导等于右导”的原则，这道题你就会做啦

一、题目

已知函数 $g(x)$ 在 $x=a$ 点处连续，且函数 $f(x)=|x-a|g(x)$ 在 $x=a$ 点处可导, 则 $g(a)$ 需要满足什么条件？

难度评级：

二、解析

方法 1

当 $x>a$ 时：

$$f(x)=(x-a)g(x)\Rightarrow$$

$$f(x)=xg(x)-ag(x)$$

当 $x<a$ 时：

$$f(x)=(a-x)g(x)\Rightarrow$$

$$f(x)=ag(x)-xg(x)$$

又由“可导必连续”的原则可知：

$$f\left(a^{-}\right)=f\left(a^{+}\right)$$

且有：

$$f\left(a^{-}\right)=0^{-}\cdot g(a)$$

$$f\left(a^{+}\right)=0^{+}\cdot g(a)$$

于是，必须有：

$$g(a)=0.$$

方法 2

Tips:

一点处的导数若存在，则必须有左导数值等于右导数值。

根据一点处导数的定义，可得：

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{|a+h-a|\cdot g(a+h)-0}{h}\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(a)=\frac{|h|}{h}\cdot g(a+h).$$

又由于函数 $g(x)$ 在 $x=a$ 点处连续，可得：

$$\underset{h\to 0}{lim}g(a+h)=g(a).$$

Tips:

函数在一点处连续，就是说函数在该点“附近”没有“空隙”。

于是：

$$f^{\prime }(a)=\frac{|h|}{h}\cdot g(a).$$

又：

$$\underset{h\to 0^{+}}{lim}\frac{|h|}{h}=1$$

$$\underset{h\to 0^{-}}{lim}\frac{|h|}{h}=-1$$

于是，只能有：

$$f^{\prime }(a)=\frac{|h|}{h}\cdot 0=0\Rightarrow g(a)=0.$$

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