在学怎么找函数零点的个数？这里刚好有一道典型例题！

一、题目

求解下面这个函数零点的个数：

$$f(x)=3\ln x–x$$

难度评级：

二、解析

Tips:

1. 一阶导为零的点是驻点而不是零点；
2. 零点就是函数值为零的点。

$$f^{\prime }(x)=\frac{3}{x}–1$$

令 $f^{\prime }(x)=0$, 则：

$$x=3$$

且：

$$f(3)=(3\ln 3–3)>(3\ln e–3)=0\Rightarrow$$

Tips:

e $\approx$ 2.718.

$$f(3)>0$$

又：

$$\{\begin{array}{ll}& 00;\\ & x>3\Rightarrow f^{\prime }(x)<0.\end{array}$$

因此，函数 $f(x)$ 在 $(0,3)$ 区间上单调递增，在 $(3,+\mathrm{\infty })$ 区间上单调递减。

又：

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)=–\mathrm{\infty }<0$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}=-\mathrm{\infty }<0$$

因此，函数 $f(x)$ 在区间 $(0,3)$ 和区间 $(3,+\mathrm{\infty })$ 上各有一个零点，一共有两个零点。

---