拉格朗日显神威：求解一道看上去“好做”但“不好做”其实“很好做”的题目

一、题目

已知 $f^{'} (0) = 0$ , 且 $f^{''} (0)$ 存在, 求极限：

$lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (\ln (1 + x))}{x^{3}} = ?$

难度评级：

二、解析

本题是 $\frac{0}{0}$ 型的式子，但是用洛必达和等价无穷小代换都不好做——另一种常用的方法就是使用泰勒公式。但是，由于我们通过题目只知道 $f^{''} (0)$ 存在，不知道 $f^{'''} (0)$ 是否存在，因此，我们只能写出如下泰勒公式：

$f (x) = f (0) + f^{'} (0) x + \frac{f^{''} (0)}{2!} x^{2} + o (x^{2})$

但问题是，当 $x \to 0$ 时， $x^{2}$ 的高阶无穷小 $o (x^{2})$ 和 $x^{3}$ 的比值我们是无法确定的。

于是可知，本题用泰勒公式也不好做。

此外，根据本题所给的条件和要求解的式子的形式可知，本题会用到导数在一点处的定义，但我们会发现，如果第一步就试图使用导数在一点处的定义求解本题，也很难做。

那么，根据要求解的式子的形式，另一个办法就是使用勒格朗日中值定理了。

$lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (\ln (1 + x))}{x^{3}} =$

$lim_{x \to 0} \frac{f^{'} (ξ) [x - \ln (1 + x)]}{x^{3}} =$

Tips:

由于，当 $x > - 1$ 时，有 $\frac{x}{1 + x} < \ln (1 + x) < x$ , 因此： $ξ \in (\ln (1 + x), x)$

$lim_{x \to 0} \frac{f^{'} (ξ) [\frac{1}{2} x^{2}]}{x^{3}} =$

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{f^{'} (ξ)}{x} =$

利用导数在一点处的定义解构 $\frac{f^{'} (ξ)}{x}$ :

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{f^{'} (ξ) - f^{'} (0)}{ξ - 0} \cdot \frac{ξ}{x} =$

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} f^{''} (0) \cdot \frac{ξ}{x} =$

Tips:

$ξ \in (\ln (1 + x), x)$ $\Rightarrow$ $\ln (1 + x) < ξ < x$ $\Rightarrow$ $lim_{x \to 0}$ $[\frac{\ln (1 + x)}{x} < \frac{ξ}{x} < \frac{x}{x}]$ $\Rightarrow$ 根据夹逼准则可知，无论 $x \to 0^{+}$ 还是 $x \to 0^{-}$ , 都能推出 $\frac{ξ}{x}$ 此时极限为 $1$ 的结论。