对式子整体通过乘除法连接的部分的极限值可以直接求出并代入，通过加减法连接的部分的极限值就不能这样代入

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow 0} (x-\sin x \cos x \cos 2 x) = ?
$$

难度评级：

二、解析

错误的解法

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0}(x-\sin x \cos x \cos 2 x)=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0}(x-\sin x \cdot 1 \cdot 1)=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0}(x-\sin x)= \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{6} x^{3}.
$$

上面求解步骤的错误原因在于，虽然，$\lim \limits_{x \rightarrow 0} \cos x \cos 2x = 1$, 但是，因为 $\cos x \cos 2x$ 这部分并不是通过乘除法对原式整体产生影响，而只是通过加减法作为原式的一部分存在，这时候就不能直接代入其极限值。

正确的解法

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0}(x-\sin x \cos x \cos 2 x) \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{
\sin \alpha \cos \alpha \sim \frac{1}{2} \sin 2 \alpha } \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(x-\frac{1}{2} \sin 2 x \cos 2 x\right) \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{
\sin 2\alpha \cos 2\alpha \sim \frac{1}{2} \sin 4 \alpha } \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(x-\frac{1}{4} \sin 4 x\right)=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{4}(4 x-\sin 4 x)=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6}(4 x)^{3}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{8}{3} x^{3}.
$$

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