极限的“段位”也有高低：有些极限需要分“段”讨论

一、题目

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{1+x^n+{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^n}=?$$

难度评级：

二、解析

很显然，在题目所给的式子中，并没有指出变量 $x$ 的取值范围，这就导致了以下问题：

1. 当 $0<x<1$ 时，$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $x^n$ $\to$ $0$;
2. 当 $x>1$ 时，$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $x^n$ $\to$ $\mathrm{\infty }$

同样的，$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $(\frac{x^n}{2}{)}^n$ 在 $x$ 取不同范围的值时，也存在上面的问题。

于是，我们知道：

1. 题目所给式子的极限需要分段求解；
2. 需要判断在 $x$ 位于哪个区间时 $x^n$ 大于 $(\frac{x^n}{2}{)}^n$, 在 $x$ 位于哪个区间时 $x^n$ 小于 $(\frac{x^n}{2}{)}^n$.

因此：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}^n\to 0\Rightarrow 0⩽x<1$$

且：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^n\to 0\Rightarrow \left(\frac{x^2}{2}\right)<1\Rightarrow 0⩽x<\sqrt{2}$$

$$(0⩽x<1)\cap (0⩽x<\sqrt{2})\Rightarrow 0⩽x<1$$

于是，当 $0⩽x<1$ 时：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{1+x^n+{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^n}=\sqrt[n]{1}=1$$

又：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^n}{{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{2}{x}\right)}^n\Rightarrow$$

$$\frac{2}{x}<1\Rightarrow x>2\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}^n\ll \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^n$$

$$\frac{2}{x}>1\Rightarrow 0<x<2\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}^n\gg \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^n$$

综上可得：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{1+x^n+{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^n}=\{\begin{array}{ll}& 1,0⩽x<1;\\ & x,1⩽x<2;\\ & \frac{x^2}{2},2⩽x.\end{array}$$

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