判断二元函数的极值

一、题目

已知函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, 且 $\lim \limits_{(x . y) \rightarrow(0.0)} \frac{f(x, y)}{1-\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ $=$ $-2$, 则函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的导数和极值情况如何？

难度评级：

二、解析

由题知：

$$
x \rightarrow 0, \quad y \rightarrow 0 \Rightarrow
$$

$$
\sqrt{x^{2} + y^{2}} \rightarrow 0
$$

于是：

$$
\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)}{1-\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}}}=
$$

$$
\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)}{\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)}=-2 \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=-\left(x^{2}+y^{2}\right)=\left(-x^{2}\right)+\left(-y^{2}\right).
$$

由于 $-x^{2}$ 在 $x = 0$ 处取得极大值，且 $-y^{2}$ 在 $y = 0$ 处取得极大值，于是：

• $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 存在且为零；
• $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 存在且为零；
• $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点取极大值。

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