判断二元函数的极值

一、题目

已知函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, 且 $\underset{(x.y)\to (0.0)}{lim}\frac{f(x,y)}{1-\cos \sqrt{x^2+y^2}}$ $=$ $-2$, 则函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处的导数和极值情况如何？

难度评级：

二、解析

由题知：

$$x\to 0,y\to 0\Rightarrow$$

$$\sqrt{x^2+y^2}\to 0$$

于是：

$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}\frac{f(x,y)}{1-\cos \sqrt{x^2+y^2}}=$$

$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}\frac{f(x,y)}{\frac{1}{2}(x^2+y^2)}=-2\Rightarrow$$

$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}f(x,y)=-(x^2+y^2)=(-x^2)+(-y^2).$$

由于 $-x^2$ 在 $x=0$ 处取得极大值，且 $-y^2$ 在 $y=0$ 处取得极大值，于是：

• $f_x^{\prime }(0,0)$ 存在且为零；
• $f_y^{\prime }(0,0)$ 存在且为零；
• $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 点取极大值。

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