极值存在的充分条件：判断是极大值点还是极小值点（B013）

问题

若已知函数 $z$ $=$ $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0} \right)$ 的某邻域内有连续的二阶偏导数,且 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0} \right)$ $=$ $0$, $f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0} \right)$ $=$ $0$; $A$ $=$ $f_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$, $B$ $=$ $f_{x y}^{\prime \prime}\left(x_{0} \right.$, $\left.y_{0} \right)$, $C$ $=$ $f_{y y}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0} \right)$.

则以下哪个选项可以说明点 $\left(x_{0}, y_{0} \right)$ 为函数 $z$ $=$ $f(x, y)$ 的一个极值大点或极小值点？

选项

[A].   $A C$ $-$ $B^{2}$ $<$ $0$ $\Rightarrow$ $\begin{cases} & A>0 \Rightarrow 极小值点 \\ & A<0 \Rightarrow 极大值点 \end{cases}$

[B].   $A C$ $-$ $B^{2}$ $>$ $0$ $\Rightarrow$ $\begin{cases} & A>1 \Rightarrow 极小值点 \\ & A<1 \Rightarrow 极大值点 \end{cases}$

[C].   $A C$ $-$ $B^{2}$ $>$ $0$ $\Rightarrow$ $\begin{cases} & A<0 \Rightarrow 极小值点 \\ & A>0 \Rightarrow 极大值点 \end{cases}$

[D].   $A C$ $-$ $B^{2}$ $>$ $0$ $\Rightarrow$ $\begin{cases} & A>0 \Rightarrow 极小值点 \\ & A<0 \Rightarrow 极大值点 \end{cases}$

   答 案   

$A C$ $-$ $B^{2}$ $>$ $0$ $\Rightarrow$ $\begin{cases} & A>0 \Rightarrow 极小值点 \\ & A<0 \Rightarrow 极大值点 \end{cases}$