求解二元显函数的极值

一、题目

二元函数 $f (x, y)$ $=$ $x^{2} (2 + y^{2})$ $+$ $y \ln y$ 的极值为多少？

难度评级：

由题知：

$f_{x}^{'} = 2 x (2 + y^{2})$

$f_{y}^{'} = x^{2} \cdot 2 y + \ln y + y \cdot \frac{1}{y} \Rightarrow$

$f_{y}^{'} = x^{2} \cdot 2 y + \ln y + 1$

于是：

$A = f_{x x}^{''} = 2 (2 + y^{2})$

$B = f_{x y}^{''} = 2 x \cdot 2 y = 4 x y$

$C = f_{y y}^{''} = 2 x^{2} + \frac{1}{y}$

接着：

${\begin{cases} f_{x}^{'} = 0 \\ f_{y}^{'} = 0 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} x = 0 \\ y = \frac{1}{e} \end{cases}$

将 $x = 0$ 和 $y = \frac{1}{e}$ 分别代入 $A$ , $B$ , $C$ 式，可得：

$A = 2 (2 + \frac{1}{e^{2}}) > 0$

$B = 0$

$C = e$

于是：

$A C - B^{2} > 0$

又：

$A > 0$

因此可知，函数 $f (x, y)$ 有极值点，且 $(0, \frac{1}{e})$ 是函数 $f (x, y)$ 的极小值点。

函数 $f (x, y)$ 的极小值为：

$f (0, \frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \times (- 1) = \frac{- 1}{e} .$

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