一、题目
二元函数 $f(x, y)$ $=$ $x^{2}\left(2+y^{2}\right)$ $+$ $y \ln y$ 的极值为多少？
难度评级：
二、解析 
由题知：
$$
f_{x}^{\prime}=2 x\left(2+y^{2}\right)
$$
$$
f_{y}^{\prime}=x^{2} \cdot 2 y+\ln y+y \cdot \frac{1}{y} \Rightarrow
$$
$$
f^{\prime} _{y} = x^{2} \cdot 2 y+\ln y+1
$$
于是：
$$
A=f_{x x}^{\prime \prime}=2\left(2+y^{2}\right)
$$
$$
B=f_{x y}^{\prime \prime}=2 x \cdot 2 y=4 x y
$$
$$
C = f_{y y}^{\prime \prime}=2 x^{2}+\frac{1}{y}
$$
接着：
$$
\left\{\begin{array}{l}f_{x}^{\prime}=0 \\ f_{y}^{\prime}=0\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=\frac{1}{e}\end{array}\right.\right.
$$
将 $x = 0$ 和 $y = \frac{1}{e}$ 分别代入 $A$, $B$, $C$ 式，可得：
$$
A = 2 \left(2+\frac{1}{e^{2}}\right)>0
$$
$$
B = 0
$$
$$
C = e
$$
于是：
$$
A C-B^{2}>0
$$
又：
$$
A>0
$$
因此可知，函数 $f(x, y)$ 有极值点，且 $(0, \frac{1}{e})$ 是函数 $f(x, y)$ 的极小值点。
函数 $f(x, y)$ 的极小值为：
$$
f\left(0, \frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e} \times (-1)=\frac{-1}{e}.
$$
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