摆脱惯性思维：数列不一定都是单调的，也可能有“最值点”

一、题目

数列 $1$, $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$, $\cdots$, $\sqrt[n]{n}$, $\cdots$ 的最大值是哪一项？

难度评级：

二、解析

求解本题的一个关键点就是不要先入为主的认为题目所给的数列是一个单调递增或者单调递减的数列。

首先：

$$
\sqrt{2} \approx 1.414 > 1
$$

又：

$$
\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 1.414 = 2.828 < (\sqrt[3]{3})^{3} = 3
$$

因此：

$$
\sqrt{2} < \sqrt[3]{3}
$$

接着：

$$
\sqrt[4]{4} = 4^{\frac{1}{4}} = (2^{2})^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{2}}
$$

即：

$$
\sqrt[4]{4} < \sqrt[3]{3}
$$

于是，可以基本判断出，该数列是一个不单调的数列，并且在 $\sqrt[3]{3}$ 这一项中取得最大值。

Next

当然，为了更加准确，我们也可以将该数列转换为函数 $f(x)$, 并通过求导的方式找出该函数的极大值，从而辅助判断该数列的最大值项——

令：

$$
f(x) = x^{\frac{1}{x}} \Rightarrow
$$

其中，根据题意可知，$x \geqslant 1$.

$$
f(x) = e^{\frac{1}{x} \ln x} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(x) = e^{\frac{1}{x} \ln x} \cdot \Big( \frac{\ln x}{x} \Big)^{\prime} =
$$

$$
f^{\prime}(x) = e^{\frac{1}{x} \ln x} \cdot \frac{1 – \ln x}{x^{2} }.
$$

接下来，我们需要判断导函数 $f^{\prime}(x)$ 的正负性，从而辅助判断出原函数 $f(x)$ 的增减性。

于是，当 $f^{\prime}(x) > 0$ 时：

$$
1 \leqslant x < e
$$

于是，当 $f^{\prime}(x) = 0$ 时：

$$
x = e
$$

于是，当 $f^{\prime}(x) < 0$ 时：

$$
e < x
$$

于是，我们知道，$f(x)$ 在区间 $[1, e)$ 上单调递增，在区间 $(e, +\infty)$ 上单调递减，在 $x = e$ 处取得极大值。

又因为 $e \approx 2.7$, 即：

$$
2 < e < 3.
$$

因此，在题目所给数列中，最大值项就是 $\sqrt{2}$ 或者 $\sqrt[3]{3}$.

进一步比较可知：

$$
\sqrt[3]{3} > \sqrt{2}
$$

因此，该数列的最大值项是 $\sqrt[3]{3}$.

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