讨论函数 $f(x)$ $=$ $\left\{\begin{matrix} \frac{2 – 2^{\frac{1}{x-1}}}{1 + 2^{\frac{1}{x-1}}}, & x \neq 1 \\ 1 & x = 1 \end{matrix}\right.$ 的间断点类型

一、题目题目 - 荒原之梦

下面的函数 $f(x)$ 有哪些类型的间断点:

$$
f(x) =
\left\{\begin{matrix}
\frac{2 – 2^{\frac{1}{x-1}}}{1 + 2^{\frac{1}{x-1}}}, & x \neq 1 \\
1 & x = 1
\end{matrix}\right.
$$

难度评级:

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一个看似不可能的等价无穷小代换的应用

一、题目题目 - 荒原之梦

已知:

$$
\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} \Big[ x^{2} – \ln^{2}(1+x) \Big]
$$

$$
\beta = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{\sqrt{1+x^{3}}} – e^{\sqrt{1-x^{3}}}}{e}
$$

则,$\alpha$ 与 $\beta$ 之间是什么关系?

难度评级:

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反常积分 $\int_{-1}^{1}$ $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ 的计算方法

一、题目分析

因为对于 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 而言,必须有 $x$ $\neq$ $0$, 于是,在区间 $[-1, 1]$ 内,定积分 $\int_{-1}^{1}$ $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ 其实是一个瑕积分,瑕点就是 $x$ $=$ $0$, 由于在真正进行积分运算的时候,被积函数不能包含瑕点,所以,我们必须在 $x$ $=$ $0$ 处对原积分进行“分割”。

二、示意图像

函数 $y$ $=$ $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ 的示意图像如下:

反常积分 $\int_{-1}^{1}$ $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ 的计算方法 | 荒原之梦
图 01.
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反常积分 $\int_{0}^{\infty}$ $\frac{1}{(1 + x)\sqrt{x}}$ $\mathrm{d} x$ 的计算方法

一、题目分析

直接来看,这是一个上限趋于无穷的的反常积分,但其实,由于被积函数中的 $\sqrt{x}$ 必须有 $x$ $>$ $0$, 因此,该反常积分的下限也需要通过取极限的方式才能在计算中使用:

我们可以引入两个变量 $s$ 和 $t$, 并使 $s$ $\rightarrow$ $0^{+}$, $t$ $\rightarrow$ $\infty$, 以此来代替该反常积分原来的上限和下限。

同时,由于 $1$ 具有 $1^{2}$ $=$ $1$ 等特殊性质,因此,我们将 $1$ 作为分割区间 $[0, \infty]$ 的一个中间点。

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2015 年研究生入学考试数学一填空题第 2 题解析

一、题目

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ $(\frac{\sin x}{1+\cos x}$ $+$ $|x|)$ $dx$ $=$__.

二、解析

本题存在(关于原点对称的)对称区间 “$[-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}]$”, 在求积分的时候,如果看到这样的对称区间,则要考虑被积函数是不是奇函数或者偶函数。如果是奇函数,则其在对称区间上的积分为 $0$, 如果是偶函数,则我们可以只计算其大于 $0$ 或者小于 $0$ 方向上的积分,之后再乘以 $2$ 即可获得整个积分区间上的积分数值。

由于:

$\frac{\sin (-x)}{1+\cos(-x)}$ $=$ $\frac{-\sin x}{1+\cos x}$ $\Rightarrow$ $f(-x)$ $=$ $-f(x)$.

因此,$f(x)$ $=$ $\frac{\sin x}{1+\cos x}$ 是一个奇函数,因此,其在对称区间 $[-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}]$ 上的积分为 $0$.

又由于:

$|-x|$ $=$ $|x|$ $\Rightarrow$ $g(-x)$ $=$ $g(x)$.

因此,$g(x)$ $=$ $|x|$ 是一个偶函数。

于是:

原式 $=$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ $|x|$ $dx$ $=$ $2$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $x$ $dx$ $=$ $2$ $\cdot$ $\frac{1}{2}x^{2}|_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $=$ $\frac{\pi^{2}}{4}$.

当然,本题除了可以使用积分的原理计算之外,还可以画图计算面积,如图 1:

2015 年研究生入学考试数学一填空题第 2 题解析 | 荒原之梦
图 01. y=|x| 的函数图像

根据上图,我们有:

$\frac{\pi}{2}$ $\cdot$ $\frac{\pi}{2}$ $\cdot$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $2$ $=$ $\frac{\pi^{2}}{4}$.

综上可知,本题的正确答案是:$\frac{\pi^{2}}{4}$.

EOF

2018 年研究生入学考试数学一填空题第 1 题解析

一、题目

$\lim_{x \rightarrow 0}$ $(\frac{1-\tan x}{1+\tan x})^{\frac{1}{\sin kx}}$ $=$ $e$, 则 $k$ $=$__.

二、解析

观察本题可以发现,这是一个求极限的式子,而且等式的右边是 $e$, 符合“两个重要极限”中的第二个重要极限的一部分特征。

两个重要极限如下:

$\lim_{x \rightarrow x_{x_{0}}}$ $\frac{\sin x}{x}$ $=$ $1$, $\lim_{x \rightarrow 0}$ $(1+x)^{\frac{1}{x}}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $(1+\frac{1}{x})^{x}$ $=$ $e$.

由于题目中的式子不存在上述公式中的 $1$, 因此,我们需要构造出这个 $1$, 即:

$1$ $+$ $\square$ $=$ $\frac{1-\tan x}{1+\tan x }$ $\Rightarrow$ $\square$ $=$ $\frac{1-\tan x}{1+\tan x}$ $-$ $1$ $=$ $\frac{1-\tan x}{1+\tan x}$ $-$ $\frac{1+\tan x}{1+\tan x}$ $=$ $\frac{-2 \tan x}{1+\tan x}$.

于是,原式 $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $(1+\frac{-2\tan x}{1+\tan x})^{\frac{1}{\sin kx}}$ $=$ $e$. (1)

由于当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时,$\frac{-2\tan x}{1+\tan x}$ $\rightarrow$ $0$ 且 $\frac{1}{\sin kx}$ $\rightarrow$ $\infty$, 所以,符合使用“两个重要极限”的条件,可以继续接下来的计算。

2018 年研究生入学考试数学一填空题第 1 题解析 | 荒原之梦
图 01. 正切函数图像.

接下来继续向公式的方向构造等式。

$(1)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $(1+\frac{-2\tan x}{1+\tan x})^{\frac{1+\tan x}{-2\tan x} \frac{-2\tan x}{1+\tan x} \frac{1}{\sin kx}}$. (2)

根据公式,我们知道:

$\lim_{x \rightarrow 0}$ $(1+\frac{-2\tan x}{1+\tan x})^{\frac{1+\tan x}{-2\tan x}}$ $=$ $e$.

于是:

$(2)$ $=$ $e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-2\tan x}{1+\tan x}\frac{1}{\sin kx}}$ $=$ $e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-2\tan x}{(1+\tan x)\sin kx}}$. (3)

当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时,$\tan x$ $\rightarrow$ $0$ 是不可以带入原式中的(只有非零和非无穷的数值可以带入原式中。),不过当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时,$(1+\tan x)$ $\rightarrow$ $1$ 是可以带入原式中的,于是:

$\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{-2\tan x}{(1+\tan x)\sin kx}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{-2\tan x}{\sin kx}$.

又因为当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时,$\sin x$ $\sim$ $\tan x$ $\sim x$, 于是:

$\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{-2\tan x}{\sin kx}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{-2x}{kx}$ $=$ $-\frac{2}{k}$.

即:

$e^{-\frac{2}{k}}$ $=$ $e$ $\Rightarrow$ $-$ $\frac{2}{k}$ $=$ $1$ $\Rightarrow$ $k$ $=$ $-$ $2$.

综上可知,正确答案是:$-2$.

EOF

2015 年研究生入学考试数学一解答题第 1 题解析

一、题目

设函数 $f(x)$ $=$ $x$ $+$ $a$ $\ln(1+x)$ $+$ $bx$ $\sin x$, $g(x)$ $=$ $k$ $x^{3}$ 在 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时等价无穷小,求常数 $a$, $b$, $k$ 的取值.

二、解析

由于 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时,$f(x)$ 和 $g(x)$ 是等价无穷小,因此有:

$\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ $=$ $1$, 即:

$\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{x+a \ln(1+x) + bx \sin x}{kx^{3}}$ $=$ $1$.

又由麦克劳林公式:

1. $\sin x$ $=$ $x$ $+$ $o(x^{2})$;

注 1:
根据麦克劳林公式,$\sin x$ 也可以等于 $x$ $-$ $\frac{x^{3}}{6}$ $+$ $o(x^{4})$, 但是这里为了能够在接下来的计算中使得分子分母可以使用“对照”的方式求解,分子的最大幂次不能大于分母的最大幂次。由于 $\sin x$ 在使用麦克劳林公式替换之后还需要和 $x$ 相乘得到二次幂,因此这里只能令 $\sin x$ 等于 $x$ $+$ $o(x^{2})$.

2. $\ln(1+x)$ $=$ $x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$ $+$ $o(x^{3})$.

注 2:
对 $\ln(1+x)$ 项数的选取所依据的原因和注 $1$ 一致。

于是,我们有:

$1$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{x+ax-\frac{a}{2}x^{2}+\frac{a}{3}x^{3}+o(x^{3})+bx^{2}+o(x^{3})}{kx^{3}}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{(1+a)x+(b-\frac{a}{2})x^{2}+\frac{a}{3}x^{3}+o(x^{3})}{kx^{3}}$.

于是,我们有:

$\left\{\begin{matrix} 1+a=0,\\ b-\frac{a}{2}=0,\\ \frac{a}{3}=k. \end{matrix}\right.$

解得:

$\left\{\begin{matrix} a=-1,\\ b=-\frac{1}{2},\\ k=-\frac{1}{3}. \end{matrix}\right.$

三、手写作答

2015 年研究生入学考试数学一解答题第 1 题解析 | 荒原之梦
图 1

EOF


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