求导会降阶，积分会升阶

一、前言

本文通过举例的方式讨论了如下结论：

求导会降阶，积分会升阶。

二、正文

我们知道：

$$
(x^{2})^{\prime} = 2x;
$$

$$
\int x^{2} \mathrm{d} x = \frac{1}{3} x^{3} + C.
$$

通过上面的计算，我们就证明了本文前言中所说的“求导会降阶，积分会升阶”这一结论。

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下面，我们通过一个例题继续巩固一下对这个结论的理解。

例题 1：若函数 $f(x)$ 连续，且当 $x \rightarrow a$ 时，$f(x)$ 是 $x-a$ 的 $n$ 阶无穷小，则当 $x \rightarrow a$ 时，$\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 $x-a$ 的多少阶无穷小？

解析 1：由于 $\big[\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t \big]^{\prime}$ $=$ $f(x)$, 因此，$\big[\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t \big]^{\prime}$ 是 $x – a$ 的 $n$ 阶无穷小，根据“求导会降阶，积分会升阶”的原理可知：$\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 $x-a$ 的 $n+1$ 阶无穷小。

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