单调有界即收敛，设出极限求极限

一、题目

已知 $x_{0}$ $=$ $0$, 且 $x_{n}$ $=$ $\frac{1 + 2 x_{n-1}}{1 + x_{n-1}}$, 其中 $n$ $=$ $1, 2, 3, \cdots$, 则 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{n}$ $=$ $?$

难度评级：

二、解析

本题属于求解数列极限的题目，一般情况下，该数列的极限都是存在的——但我们要首先证明该数列存在极限，所依据的方法就是“单调有界即收敛”——收敛就是存在极限。

$$
x_{n} = \frac{1 + 2 x_{n-1}}{1 + x_{n-1}} \Rightarrow
$$

$$
x_{n} = \frac{A(1 + x_{n-1}) + B}{1 + x_{n-1}} \Rightarrow
$$

$$
x_{n} = \frac{2 (1 + x_{n-1}) – 1}{1 + x_{n-1}} \Rightarrow
$$

$$
x_{n} = 2 – \frac{1}{1 + x_{n-1}}.
$$

Next

于是：

$$
0 \leqslant x_{n} = 2 – \frac{1}{1 + x_{n-1}} < 2.
$$

即可知，数列 $x_{n}$ 是有界的。

Next

接着，若令：

$$
f(x) = 2 – \frac{1}{1 + x}
$$

可以知道，随着 $x$ 的增加，$f(x)$ 的值也是增加的，因此，函数 $f(x)$ 单调递增，也就意味着对应的数列 $x_{n}$ 也是单调递增的。

综上可知，数列 $x_{n}$ 单调且有界，因此，该数列存在极限。

Next

由于一般情况下，此类题目中，数列的极限都是存在的，因此，如果一时无法证明数列极限确实存在，也可以先假设该极限存在，并按照下面的方法计算出该极限。

设数列 $x_{n}$ 的极限为 $A$, 则：

$$
x_{n} = \frac{1 + 2 x_{n-1}}{1 + x_{n-1}} \Rightarrow
$$

$$
A = \frac{1 + 2 A}{1 + A} \Rightarrow
$$

$$
A^{2} + A – 2A – 1 = 0 \Rightarrow
$$

$$
A^{2} – A – 1 = 0 \Rightarrow
$$

$$
A = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} \Rightarrow
$$

$$
A = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \Rightarrow
$$

Next

$$
\left\{\begin{matrix}
A = \frac{1 – \sqrt{5}}{2} < 0 \Rightarrow 舍去 \\ A = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} > 0 \Rightarrow 保留
\end{matrix}\right.
$$

Next

因此，综上可知：

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}.
$$

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