标签： 高等数学基础

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将给出下面这个对数换底公式（也称“对数基变换公式”）的详细证明：

$$
\textcolor{pink}{ \log_{y} x } = \frac{\log_{\beta} x}{\log_{\beta} y}
$$

继续阅读“证明对数的“换底”/“基变换”公式”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过完善的逻辑推理，分别证明以下两个对数的“和”与“差”公式：

$$
\begin{aligned}
\log_{\alpha} M N & = \log_{\alpha} M + \log_{\alpha} N \\
\log_{\alpha} \frac{M}{N} & = \log_{\alpha} M – \log_{\alpha} N
\end{aligned}
$$

继续阅读“对数“和差”公式的完整证明”

一、前言

意大利物理学家、数学家和天文学家伽利略曾经说过：“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙。”，同时，在我们学习数学或者使用数学的时候，也常常会遇到“对数”。

但是，取对数到底有什么用呢？在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们揭开对数的“神秘”面纱。

正文

压缩数值

对数的其中一个作用就是可以“压缩”数值，或者说，对数可以反应较大数字的“量级”。

例如，对于数字 $123456$ 和 $654321$ 是两个相差特别大的数字，如果要比较这样的数字的大小，或者将其绘制在坐标图上，都不是很好表示，但如果我们对其取对数，就可以在减少这样的差异，并且不改变原有的大小关系（因为对数函数是一个单调递增的函数，可以保留原有的相对大小关系）：

$$
\log_{10}^{123456} \simeq 5.0915
$$

$$
\log_{10}^{654321} \simeq 5.8158
$$

在上面做数值压缩的过程中，我们使用的是底数为 $10$ 的“常用对数”，因为常用的数字就是十进制的，用底数为 $10$ 的对数可以很方便的显示出原有数字的量级（一个“量级”就是十进制的一个“位”，即千位、百位和十位等），例如：

$$
\log_{10}^{6 \times 10^{\textcolor{springgreen}{8}}} \simeq \textcolor{springgreen}{8}.7782
$$

$$
\log_{10}^{9 \times 10^{\textcolor{springgreen}{8}}} \simeq \textcolor{springgreen}{8}.9542
$$

$$
\log_{10}^{2 \times 10^{\textcolor{orangered}{9}}} \simeq \textcolor{orangered}{9}.3010
$$

当然，用其他底数也可以大致反映出不同十进制数字的相对大小，但不能反映出十进制数字原本的量级：

$$
\log_{\mathrm{e}}^{6 \times 10^{\textcolor{pink}{8}}} \simeq \textcolor{tan}{20}.2124
$$

$$
\log_{\mathrm{e}}^{9 \times 10^{\textcolor{pink}{8}}} \simeq \textcolor{tan}{20}.6179
$$

$$
\log_{\mathrm{e}}^{2 \times 10^{\textcolor{pink}{9}}} \simeq \textcolor{tan}{21}.4164
$$

Note

在实际应用中，至少下面的数值或者表示方法都使用了对数：
⁕ 里氏地震震级（用于描述地震烈度）
⁕ 分贝（用于音量）
⁕ 奈培（用于电功率）
⁕ 音分、小二度、全音及纯八度等（用于音乐中的相对音高）
⁕ Logit（用于统计学的发生比）
⁕ 巴勒莫撞击危险指数（用于表示近地天体撞击地球的危险几率）
⁕ 对数时间线
⁕ 焦比（用于计算摄影中的曝光量）
⁕ 熵（用于热力学）
⁕ 信息（用于信息论）
⁕ 土壤的颗粒尺寸分布的曲线
⁕ 对数星图（用于表示星体之间的相对位置）
⁕ 能量密度（用于铀和化石燃料能量密度的比较）
⁕ pH 值（用于表示酸性）
⁕ 视星（用于表示恒星亮度）
⁕ 克伦宾尺度（用于地质学中表示粒径）
⁕ 吸光度（用于描述物体的透光性能）

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变非线性为线性

此外，取对数的另一个作用就是将非线性的式子转换为线性的式子。

例如，当 $Z$ 为变量，$n$ 为常数的时候，”$Z^{n}$” 不是一个线性表达式，但是，对其取对数之后，就可以转变为线性表达式 “$n \log Z$”:

$$
\log Z^{n} = n \log Z
$$

同样的，当 $x$ 和 $y$ 为变量的时候，”$xy$” 不是一个线性表达式，但是对其取对数之后，就可以转变为线性表达式 “$\log x$ $+$ $\log y$”:

$$
\log (xy) = \log x + \log y
$$

线性表达式在计算上更加简单，在人工智能领域有着广泛且深入的应用。

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一、题目

⟨A⟩» $A_{n}$ $<$ $K + \frac{1}{n}$

⟨B⟩» $A_{n}$ $>$ $K – \frac{1}{n}$

⟨C⟩» $\left| A_{n} \right|$ $>$ $\frac{|K|}{2}$

⟨D⟩» $\left| A_{n} \right|$ $<$ $\frac{|K|}{2}$

难度评级：

二、解析

“无穷小”和“有限小”

无 穷 小 量不可数，例如，当 $x \rightarrow \infty$ 的时候，$\frac{1}{x}$, $\frac{2}{x}$, $\frac{9999999}{x}$ 都是无穷小量，我们也可以将无穷小理解为“无限小”；

有 限 小 量可数，例如，无论是 $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{100}$, 还是 $\frac{1}{9999999}$, 虽然在某些程度上都是很小的数字，但他们都是可数的，都是一个确定的量。

加上或者减去一个 无 穷 小 量不会对原有的数值产生影响：

$$
\textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{ 1 }} + \textcolor{pink}{ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} } = 1 + \textcolor{pink}{ 0 } \textcolor{springgreen}{ = 1 }
$$

加上或者减去一个 有 限 小 量会对原有的数值产生影响：

$$
\textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{ 1 }} + \frac{1}{9999999} = \frac{9999999 + 1}{9999999} = \frac{10000000}{9999999} \textcolor{orangered}{\neq 1}
$$

有了上面的知识之后，求解本题就很容易了。

⟨A⟩ & ⟨B⟩

首先可以看到，无论是让 $K$ 加上 $\frac{1}{n}$ 还是减去 $\frac{1}{n}$, 当 $n$ 充分大时，也就是当 $n \rightarrow \infty$ 时，都有：

$$
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0
$$

也就是说，当 $n \rightarrow \infty$ 时：

$$
K + \frac{1}{n} = K – \frac{1}{n} = K
$$

又由题目已知条件 $\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n}$ $=$ $K$ 可知：

$$
\begin{aligned}
A_{n} & \textcolor{springgreen}{=} K + \frac{1}{n} \quad \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\checkmark}} \\ \\
A_{n} & \textcolor{springgreen}{=} K – \frac{1}{n} \quad \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\checkmark}}
\end{aligned}
$$

综上可知，C 选 项 正 确 。

⟨C⟩ & ⟨D⟩

虽然我们不知道 $K$ 是一个正数还是一个负数，但是，由题目已知条件 $\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n}$ $=$ $K$ $\neq$ $0$ 可知：

$$
\textcolor{orange}{
\lim_{n \rightarrow \infty} |A_{n}| = |K| > 0 } \tag{1}
$$

且：

$$
\frac{|K|}{2} > 0
$$

由于当 $n$ 足够大时，也就是 $n \rightarrow \infty$ 时，上面的 $\textcolor{orange}{(1)}$ 式一定成立，并且 $\frac{|K|}{2}$ 是一个可数的数值，所以下式一定成立：

$$
|K| > \frac{|K|}{2}
$$

即：

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} |A_{n}| > \frac{|K|}{2}
$$

综上可知，C 选 项 正 确 。

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一、前言

在解决含有无穷小量问题的时候，我们常常需要面对的问题就是：

什么时候该将无穷小量考虑进运算结果中？什么时候又该将无穷小量舍去？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就借助“小泡泡转为大泡泡”的现象，为同学们讲明白，如何通过让大的无穷小更大，让小的无穷小更小的“分化融合”方法，来明确无穷小量在具体计算过程中的取舍。

继续阅读“解决无穷小量取舍问题的一个思路：让小泡泡汇聚成大泡泡”

一、前言

对函数的自变量加上、减去、乘以、除以一个数字可以对函数图像产生影响，在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过图示和口诀的方式让同学们能够直观地理解这种影响，进而在学习和解题的过程中加以应用。

继续阅读“加减乘除运算对函数图象形状的影响”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们详细讲解考研高等数学以及概率论和数理统计课程中常用的伽马函数。

继续阅读“伽马函数（欧拉第二积分/Gamma Function）详解”

一、前言

在考研数学的题目中，我们有时候可能会见到下面这样的式子，那么，下面式子中的 $\exp$ 是什么意思呢？

$$
\exp (x)
$$

继续阅读“考研数学中的 $\exp$ 是什么意思？”

一、前言

我们知道，如果函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某个邻域内有定义（不需要一定在该邻域内可导），且函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导，则：

$$
\begin{aligned}
f ^{\prime} (x_{0}) \\ \\
& = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x) – f(x_{0})}{x – x_{0}} \\ \\
& = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_{0} + \Delta x) – f(x_{0})}{\Delta x}
\end{aligned}
$$

上面的公式也被称作函数在一点处导数的定义式。

但事实上，上面式子中的等号严格的来说是不成立的，且在有些时候，我们不能直接使用上面的式子完成解题。

所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」就借助极限与无穷小的关系，对上面的式子进行完善，以形成一个比较完备的一点处导数的定义式。

继续阅读“借助极限与无穷小的关系，对一点处导数的定义式进行完善”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们介绍一下考研数学中很常用的“Heine 定理”。

继续阅读“连接函数极限与数列极限的桥梁：Heine 定理”

一、前言

我们知道，一般情况下，积分会导致函数的奇偶性发生改变。例如，在下面的式子中，一般情况下，如果函数 $f(x)$ 是奇函数，则 $F(x)$ 就是偶函数；如果函数 $f(x)$ 是偶函数，则 $F(x)$ 就是奇函数：

$$
F(x) = \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~d} t
$$

但是，如果我们要分析的是下面这个式子，则函数 $f(x)$ 的奇偶性会对函数 $F(x)$ 的奇偶性产生什么样的影响呢？

$$
F(x) = \int_{0}^{x} g(x) \cdot f(t) \mathrm{~d} t
$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过详细的计算，给同学们讲明白这个问题。

继续阅读“关于积分对函数奇偶性影响的一个扩展公式”

一、前言

下面这个恒等式是考研数学中和高等数学中一个很重要的恒等式：

$$
\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}
$$

在本文中，荒原之梦考研数学将给同学们证明上面这个式子。

继续阅读“关于 $\arctan$ 的一个恒等式及其证明”

一、前言

三角函数的二倍角公式（$\sin 2x$, $\cos 2x$, $\tan 2x$, $\cot 2x$）很常用，三角函数的三倍角公式在求解一些题目的时候，也是一个非常有用的工具。在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们整理出一份常用的三角函数三倍角公式。

继续阅读“三角函数的三倍角公式”