标签： 考研数学二

一、题目

甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 $10$（单位：m）处. 图中，实线表示甲的速度曲线 $v$ $=$ $v_{1}(t)$ （单位 : m/s），虚线表示乙的速度曲线 $v$ $=$ $v_{2}(t)$ （单位 : m/s），三块阴影部分面积的数值依次为 $10$, $20$, $3$. 计时开始后乙追上甲的时刻记为 $t_{0}$ （单位 : s），则（）

( A ) $t_{0}$ $=$ $10$.

( B ) $15$ $<$ $t_{0}$ $<$ $20$.

( C ) $t_{0}$ $=$ $25$.

( D ) $t_{0}$ $>$ $25$.

二、解析

方法一

从物理学的角度，本题就是考查速度与路程的关系。

题目中给出的 $X$ $-$ $Y$ 坐标图像是“时间-速度”图像。那么，根据物理学知识我们知道，该曲线与坐标轴围成的图像的面积就是走过的路程。我们又知道，实线表示甲，虚线表示乙，而且刚开始时甲在乙前面 $10$ 米处。

由图像可知，当 $t$ $=$ $10$ 时，甲在乙前面 $20$ 米处，当 $t$ $=$ $25$ 时，乙在第 $10$ 秒到第 $25$ 秒之间的 $15$ 秒时间里比甲多跑了 $20$ 米，正好抵消了之前乙落后于甲的 $20$ 米路程。因此，当 $t$ $=$ $25$ 时，乙追上了甲，即 $t_{0}$ $=$ $25$。

综上可知，本题的正确选项是：$C$.

方法二

从数学的角度，本题主要考查的是定积分的基本运算和定积分的几何意义。

使用高等数学解答本题需要如下关于定积分的知识：

1. 定积分的几何意义：
   曲边梯形的代数和.
2. 定积分的基本性质：
   定积分的线性性：

$\int_{a}^{b}$ $[$ $k_{1}$ $f_{1}(x)$ $+$ $k_{2}$ $f_{2}(x)$ $]$ $dx$ $=$ $k_{1}$ $\int_{a}^{b}$ $f_{1}(x)$ $dx$ $+$ $k_{2}$ $\int_{a}^{b}$ $f_{2}(x)$ $dx$.

定积分积分区间的可加性：
$\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $dx$ $=$ $\int_{a}^{c}$ $f(x)$ $dx$ $+$ $\int_{c}^{b}$ $f(x)$ $dx$.

根据上面的知识，我们可以做如下推理。

如果我们约定，使用 $v(t)$ 表示速度，使用 $s(t)$ 表示路程，那么在从 $0$ 到 $t$ 这个时间段内，可以写出如下定积分表达式：

$s(t)$ $=$ $\int_{0}^{t}$ $v(t)$ $dx$.

因此，当乙在 $t_{0}$ 时刻追上甲时，甲走过的路程为：

$s_{1}(t)$ $=$ $\int_{0}^{t_{0}}$ $v_{1}(t)$.

乙走过的路程为：

$s_{2}(t)$ $=$ $\int_{0}^{t_{0}}$ $v_{2}(t)$.

$s_{2}(t)$

和 $s_{1}(t)$ 的关系为：

$s_{2}(t)$ $-$ $10$ $=$ $s_{1}(t)$.

于是有：

$s_{2}(t)$ $-$ $s_{1}(t)$ $=$ $\int_{0}^{t_{0}}$ $v_{2}(t)$ $-$ $\int_{0}^{t_{0}}$ $v_{1}(t)$ $=$ $\int_{0}^{t_{0}}$ $[$ $v_{2}(t)$ $-$ $v_{1}(t)$ $]$ $=$ $10$.

由于在从 $0$ 到 $10$ 秒的时间段内，$v_{2}$ 始终大于 $v_{1}$, 因此，乙超过甲的时间 $t_{0}$ 一定大于 $10$, 于是有：

$\int_{0}^{10}$ $[$ $v_{2}(t)$ $-$ $v_{1}(t)$ $]$ $+$ $\int_{10}^{t_{0}}$ $[$ $v_{2}(t)$ $-$ $v_{1}(t)$ $]$ $=$ $10$.

又由于，从题中给出的图像我们可以看出：

$\int_{0}^{10}$ $[$ $v_{2}(t)$ $-$ $v_{1}(t)$ $]$ $=$ $10$.

因此有：

$\int_{10}^{t_{0}}$ $[$ $v_{2}(t)$ $-$ $v_{1}(t)$ $]$ $=$ $20$. (1)

根据题中图像可知，在第 $10$ 秒到第 $25$ 秒这段时间里，图像中对应的阴影部分的面积为 $20$, 所以当 $t_{0}$ $=$ $25$ 时， $(1) $ 式成立。

综上可知，本题的正确选项是：$C$.

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一、题目

已知函数 $f(x)$ $=$ $\frac{1}{1+x^{2}}$, 则 $f^{(3)}(0)$ $=$

二、解析

方法一

本题可以借助函数奇偶性的相关性质解出。

由于：

$f(x)$ $=$ $\frac{1}{1+x^{2}}$

$f(x)$ $=$ $\frac{1}{1+x^{2}}$

$f(-x)$ $=$ $\frac{1}{1+(-x)^{2}}$ $=$ $\frac{1}{1+x^{2}}$

因此：

$f(x)$ $=$ $f(-x)$

于是，我们知道，函数 $f(x)$ 是一个偶函数。

接下来，根据“偶函数的导数是奇函数，奇函数的导数是偶函数”的规律，我们知道，函数 $f^{(3)}(x)$ 是一个奇函数。

又由于，如果一个奇函数 $g(x)$ 在原点处$($ $x$ $=$ $0$ $)$有定义，则 $g(x)$ $=$ $0$, 因此有：

$f^{(3)}(0)$ $=$ $0$

综上可知，本题的答案就是：$0$.

方法二

本题也可以借助泰勒级数计算。

本题要求解的是在 $x$ $=$ $0$ 时，$f(x)$ 的三次导函数的函数值。我们知道，麦克劳林级数就是函数在 $x$ $=$ $0$ 处的泰勒级数，是泰勒级数的一个特例。于是，这里我们可以使用麦克劳林级数对原式进行级数展开。

麦克劳林级数中有一个关于几何级数的公式，如下：

$\frac{1}{1-x}$ $=$ $\sum_{0}^{\infty}$ $x^{n}$, $|x|$ $<$ $1$

当我们把上述公式中的 $x$ 替换成 $-x^{2}$ 后，$f(x)$ 就可以使用上述几何级数的公式表达，如下：

$f(x)$ $=$ $\frac{1}{1+x^{2}}$ $=$ $\frac{1}{1-(-x^{2})}$ $=$ $\sum_{0}^{\infty}$ $(-x^{2})^{n}$ $=$ $\sum_{0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $x^{2n}$

之后，对 $f(x)$ 求导：

$f'(x)$ $=$ $\sum_{0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $2n$ $\cdot$ $x^{2n-1}$

$f”(x)$ $=$ $\sum_{0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $2n$ $\cdot$ $(2n-1)$ $\cdot$ $x^{2n-2}$

$f”'(x)$ $=$ $\sum_{0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $2n$ $\cdot$ $(2n-1)$ $\cdot$ $(2n-2)$ $\cdot$ $x^{2n-3}$

于是，$f”'(0)=0$.

综上可知，本题的答案就是： $0$.

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一、题目

若函数 $f(x)$ 可导，且 $f(x)$ $f'(x)$ $>$ $0$, 则（）

( A ) $f(1)$ $>$ $f(-1)$

( B ) $f(1)$ $<$ $f(-1)$

( C ) $|f(1)|$ $>$ $|f(-1)|$

( D ) $|f(1)|$ $<$ $|f(-1)|$

二、解析

观察题目我们可以发现，$f(x)$ $f'(x)$ 和下面这个这个公式很像：

$[f(x)$ $\cdot$ $g(x)]’$ $=$ $f'(x)$ $g(x)$ $+$ $f(x)$ $g'(x)$

如果我们令 $g(x)$ $=$ $f(x)$, 则有：

$f'(x)g(x)$ $+$ $f(x)g'(x)$ $=$ $f'(x)f(x)$ $+$ $f(x)f'(x)$ $=$ $f(x)f'(x)$ $+$ $f(x)f'(x)$ $=$ $2f(x)f'(x)$

进一步，我们可以令 $F(x)$ $=$ $f^{2}(x)$, 则有：

$F'(x)$ $=$ $2$ $f(x)f'(x)$

由题可知，$f(x)f'(x)$ $>$ $0$, 于是有 $F'(x)$ $>$ $0$, 即 $F(x)$ 是一个单调递增的函数，由此可得：

$F(1)$ $-$ $F(-1)$ $>$ $0$

即：

$f^{2}(1)$ $-$ $f^{2}(-1)$ $>$ $0$ $\Rightarrow$ $f^{2}(1)$ $>$ $f^{2}(-1)$ $\Rightarrow$ $|f(1)|$ $>$ $|f(-1)|$

综上可知，正确答案为：$C$.

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一、题目

若函数

$f(x)$ $=$ $\left\{\begin{matrix} \frac{1-\cos\sqrt{x}}{ax}, x > 0 \\ b, x\leqslant 0 \end{matrix}\right.$

在 $x$ $=$ $0$ 处连续，则（）

( A ) $ab$ $=$ $\frac{1}{2}$

( B ) $ab$ $=$ $-$ $\frac{1}{2}$

( C ) $ab$ $=$ $0$

( D ) $ab$ $=$ $2$

二、解析

这道题可以根据函数连续的定义解出。

函数 $f(x)$ 在某一点 $x_{0}$ 处连续的定义如下：

$\lim_{x \rightarrow x_{0^{-}}}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow x_{0^{+}}}$ $=$ $f(x_{0})$

因此，若函数 $f(x)$ 在 $x$ $=$ $0$ 处连续，则根据定义的话，我们需要证明：

$\lim_{x \rightarrow 0^{-}}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0^{+}}$ $=$ $f(0)$

观察题目可知，这是一个分段函数，且当 $x$ $\in$ $(- \infty, 0]$ 时，$f(x)$ $=$ $b$. 于是，当 $x$ 从左边趋近于 $0$ 时，$f(0^{-})$ $=$ $b$.

当 $x$ 从右边趋近于 $0$ 时，适用的取值范围为 $x$ $>$ $0$, 而对应的函数值为：

$\lim_{x \rightarrow 0^{+}}$ $f(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0^{+}}$ $\frac{1-\cos\sqrt{x}}{ax}$

根据如下的等价无穷小原则：

$1$ $-$ $\cos x$ $\sim$ $\frac{1}{2}x^{2}$

于是有：

原式 $=$ $\lim_{x \rightarrow 0^{+}}$ $\frac{\frac{1}{2}(\sqrt{x})^{2}}{ax}$ $=$ $\frac{1}{2a}$

为了满足上面提到的函数在一点处连续的定义，需要有：

$\frac{1}{2a}$ $=$ $b$

化简形式得：

$ab$ $=$ $\frac{1}{2}$

由此可知，选 $A$.

EOF