标签： 考研数二真题

题目

已知函数 $f(x,y)$ 具有二阶连续偏导数，且 $f(1,y)=0$, $f(x,1)=0$, ${\iint }_{D}f(x,y)dxdy=a$, 其中，$D=(x,y)|0⩽x⩽1,0⩽y⩽1$, 计算二重积分 $I={\iint }_{D}xy{f}_{xy}^{”}(x,y)dxdy$.

题目

一容器的内侧是由图中曲线绕 $y$ 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 $x^2+y^2=2y$ $(y⩾\frac{1}{2})$ 与 $x^2+y^2=1$ $(y⩽\frac{1}{2})$ 连接而成。

$(\mathrm{Ⅰ})$ 求容器的容积；

$(\mathrm{Ⅱ})$ 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？

（长度单位：$m$, 重力加速度为 $g$ $m/s^2$, 水的密度为 ${10}^3$ $kg/m^3$）

题目

$(\mathrm{Ⅰ})$ 证明：对任意的正整数 $n$, 都有 $\frac{1}{n+1}<\ln (1+\frac{1}{n})<\frac{1}{n}$ 成立.

$(\mathrm{Ⅱ})$ 设 $a_n=$ $1+$ $\frac{1}{2}+$ $\dots$ $+\frac{1}{n}$ $-\ln n$ $(n=1,2,\dots )$, 证明数列 $a_n$ 收敛.

题目

设函数 $y(x)$ 具有二阶导数，且曲线 $l$:$y=y(x)$ 与直线 $y=x$ 相切于原点，记 $\alpha$ 为曲线 $l$ 在点 $(x,y)$ 处切线的倾角，若 $\frac{d\alpha }{dx}=\frac{dy}{dx}$, 求 $y(x)$ 的表达式。

题目

设函数 $z=f(xy,yg(x))$, 其中函数 $f$ 具有二阶连续偏导数，函数 $g(x)$ 可导且在 $x=1$ 处取得极值 $g(1)=1$. 求 $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}{|}_{x=1,y=1}$.

题目

设函数 $y=y(x)$ 由参数方程：

$$\{\begin{array}{c}x=\frac{1}{3}{t}^3+t+\frac{1}{3},\\ y=\frac{1}{3}{t}^3–t+\frac{1}{3}\end{array}$$

确定，求 $y=y(x)$ 的极值和曲线 $y=y(x)$ 的凹、凸区间及拐点。

题目

已知函数

$$F(x)=\frac{{\int }_0^x\ln (1+t^2)dt}{x^a}.$$

设 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}F(x)=\underset{x\to 0^{+}}{lim}F(x)=0$, 试求 $a$ 的取值范围.

题目

设平面区域 $D$ 由直线 $y=x$, 圆 $x^2+y^2=2y$ 及 $y$ 轴所围成，则二重积分 $\iint xyd\sigma =?$

题目

设函数

$$f(x)=\{\begin{array}{c}\lambda e^{-\lambda x},x>0,\\ 0,x⩽0.\end{array}(\lambda >0)$$

则 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}xf(x)dx=?$

题目

微分方程 $y^{‘}+y=e^{-x}\cos x$ 满足条件 $y(0)=0$ 的解为 $y=?$

题目

$\underset{x\to 0}{lim}(\frac{1+2^x}{2}{)}^{\frac{1}{x}}=$