题目
二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ $=$ $x_{1}^{2}$ $+$ $3x_{2}^{2}$ $+$ $x_{3}^{2}$ $+$ $2x_{1}x_{2}$ $+$ $2x_{1}x_{3}$ $+$ $2x_{2}x_{3}$, 则 $f$ 的正惯性指数为__.
解析
本题考查二次型、特征值和正负惯性指数相关知识点，根据定义一步步求解即可。
由题可知，若令矩阵 $A$ 的二次型为：
$$
f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) =
$$
$$
x_{1}^{2} + 3x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 2x_{1}x_{2} + 2x_{1}x_{3} + 2x_{2}x_{3}
$$
则：
$$
A =
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 3 & 1\\
1 & 1 & 1
\end{bmatrix}
$$
于是，由 $|\lambda E – A| = 0$ 得：
$$
\begin{vmatrix}
\lambda-1 & -1 & -1\\
-1 & \lambda-3 & -1\\
-1 & -1 & \lambda-1
\end{vmatrix}=0 \Rightarrow
$$
$$
(\lambda-3)(\lambda-1)^{2}-2-(\lambda-3)-2(\lambda-1) = 0 \Rightarrow
$$
$$
(\lambda-1)[(\lambda-3)(\lambda-1)-3] = 0 \Rightarrow
$$
$$
(\lambda-1)(\lambda^{2} – 4\lambda) = 0 \Rightarrow
$$
$$
(\lambda -1) \cdot \lambda \cdot (\lambda-4) = 0 \Rightarrow
$$
$$
\lambda_{1}=1;\lambda_{2}=0;\lambda_{3}=4.
$$
由于 $0$ 既不是正数也不是负数，因此，二次型 $f$ 的正惯性指数为 $2$.