2011年考研数二第07题解析

题目

设 $A$ 为三阶矩阵，将 $A$ 的第 $2$ 列加到第 $1$ 列得矩阵 $B$, 再交换 $B$ 的第 $2$ 行与第 $3$ 行得单位矩阵. 记 $P_1=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$, $P_2=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$, 则 $A=()$.

$$(A)P_1{P}_2$$

$$(B)P_1^{-1}{P}_2$$

$$(C)P_2{P}_1$$

$$(D)P_2{P}_1^{-1}$$

解析

根据“左行右列”原则，由题可知：

$$E=P_{2}A{P}_1\Rightarrow$$

$$P_2^{-1}E=A{P}_1\Rightarrow$$

$$P_2^{-1}E{p}_1^{-1}=A$$

由于题目中并没有出现 $P_2^{-1}$, 因此，我们对 $P_2$ 做一个求逆运算，看一看有什么规律可循：

$$\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 1& 0\end{array}\right]$$

由上可知：

$$P_2^{-1}=P_2.$$

于是：

$$A=P_2^{-1}E{p}_1^{-1}=P_{2}E{P}_1^{-1}=P_2{P}_1^{-1}.$$

综上可知，正确选项为：$D.$