题目
微分方程 $y^{‘} + y = e^{-x} \cos x$ 满足条件 $y(0) = 0$ 的解为 $y = ?$
解析
本题涉及一阶线性微分方程，肯定要使用一阶线性微分方程的求解公式。根据对该公式运用方式的不同，本题至少有两种解法，下面分别介绍。
补充：
对于一阶线性方程 $y^{‘} + p(x)y = q(x)$, 其求解公式为：
$$
y = [\int q(x) \cdot e^{\int p(x) dx}dx + C] \cdot e^{- \int p(x) dx}
$$
方法一
由 $y^{‘} + y = e^{-x} \cos x$ 和一阶线性微分方程的求解公式，我们可以直接求解如下：
$$
y = [\int e^{-x} \cos x \cdot e^{\int 1\cdot dx} dx +C] \cdot e^{- \int 1 \cdot dx} =
$$
$$
y = [\int e^{-x} \cos x \cdot e^{x} dx + C] \cdot e^{-x}
$$
$$
y = [\int \cos x dx + C] \cdot e^{-x} =
$$
$$
y = [\sin x + C] \cdot e^{-x} =
$$
$$
y = e^{-x} \sin x + C e^{-x}. ①
$$
又需要满足 $x = 0$ 的时候，$y = 0$, 于是由 $①$ 式得：
$$
0 = 1 \cdot 0 + C \cdot 1 \Rightarrow
$$
$$
C = 0.
$$
于是，可得：
$$
y = e^{-x} \sin x.
$$
方法二
由于在本文开头提到的一阶线性微分方程的求解公式中，$q(x)$ 是可以等于 $0$ 的。则，在 $q(x) = 0$ 的情况下，也就是对 $y^{‘} + p(x)y = 0$ 而言，其求解公式为：
$$
y =C \cdot e^{- \int p(x) dx}.
$$
同时，如果我们令 $D(x) = \int q(x) \cdot e^{\int p(x) dx}dx + C$, 则对于 $y^{‘} + p(x)y = q(x)$, 有：
$$
y = D(x) \cdot e^{- \int p(x) dx}.
$$
接下来开始我们的正式求解过程。
首先求出 $y^{‘} + y = 0$ 的解：
$$
y = C e^{-\int 1 \cdot dx} =
$$
$$
y = C \cdot e^{-x} ②.
$$
根据前面的分析，我们只需要将 $②$ 式中的 $C$ 换成一个包含变量 $x$ 的式子 $D(x)$ 就可以得到函数 $y^{‘} + y = e^{-x} \cos x$ 的解的大致形态：
$$
y = D(x) e^{-x}.
$$
那么，接下来，我们只需要求出 $D(x)$ 就可以了。
将 $y = D(x) e^{-x}$ 带入方程 $y^{‘} + y = e^{-x} \cos x$, 可得：
$$
D^{‘}(x) e^{-x} – D(x)e^{-x} + D(x)e^{-x} = e^{-x} \cos x \Rightarrow
$$
$$
D^{‘}(x) e^{-x} = e^{-x} \cos x \Rightarrow
$$
$$
D^{‘}(x) = \cos x \Rightarrow
$$
$$
D(x) = \sin x + C, 其中 C 为常数
$$
于是，有：
$$
y = (\sin x + C) e^{-x} \Rightarrow
$$
又有：
$$
x = 0 时，y = 0.
$$
因此：
$$
0 = C.
$$
即：
$$
y = e^{-x} \sin x.
$$
注意：不要写成 $y = \sin x e^{-x}$, 以免被误认为是 $y = \sin (x e^{-x})$.