2011年考研数二第08题解析

题目

设 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)$ 是四阶矩阵，$A^{\ast }$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若 $(1,0,1,0{)}^{\mathrm{\top }}$ 是方程组 $AX=0$ 的一个基础解系，则 $A^{\ast }X=0$ 的基础解系可为 $()$

$$(A){\alpha }_1,{\alpha }_3$$

$$(B){\alpha }_1,{\alpha }_2$$

$$(C){\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$$

$$(D){\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$$

解析

由题可知，$AX=0$ 的基础解系里只包含一个线性无关的解向量，相应的，矩阵 $A$ 的秩就是：

$$r(A)=4–1=3.$$

由于 $r(A)=3$, 则，根据：

$$r(A^{\ast })=\{\begin{array}{c}n,r(A)=n,\\ 1,r(A)=n-1,\\ 0,r(A)<n-1.\end{array}$$

可知：

$$r(A^{\ast })=1.$$

也就是说，$A^{\ast }X=0$ 的基础解系中有 $4-1=3$ 个线性无关的解向量。

至此，可以排除 $A$ 和 $B$ 两个选项。

由于 $r(A)=3<4$, 所以：

$$|A|=0.$$

又：

$$A^{\ast }A=|A|E=0E.$$

所以：

$$A^{\ast }A=O.$$

又：

$$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)$$

故，向量组 $({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)$ 是方程 $A^{\ast }X=0$ 的一组解。

又有由题知：

$$A\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right]=0\Rightarrow$$

$$({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right]=0\Rightarrow$$

$${\alpha }_1+{\alpha }_3=0\Rightarrow$$

$${\alpha }_1=–{\alpha }_3.$$

即，${\alpha }_1$ 和 ${\alpha }_3$ 是线性相关的，${\alpha }_1$ 可由 ${\alpha }_3$ 线性表示，那么 ${\alpha }_1$ 也可以由 ${\alpha }_2$ 和 ${\alpha }_3$ 共同线性表示，则 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 这三个向量构成的向量组一定是线性相关的，从而就一定不是一个基础解系，因此，排除 $C$ 选项。

同理可知，由 ${\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 这三个向量构成的向量组是线性无关的，根据基础解系的定义可知，${\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 可以作为方程组 $A^{\ast }X=0$ 的一个基础解系。

综上可知，正确选项为 $D$.