题目
设函数 $z = f(xy, yg(x))$, 其中函数 $f$ 具有二阶连续偏导数，函数 $g(x)$ 可导且在 $x=1$ 处取得极值 $g(1)=1$. 求 $\frac{\partial^{2}z}{\partial x \partial y}|_{x=1,y=1}$.
解析
由于，函数 $g(x)$ 可导且在 $x=1$ 处取得极值 $g(1)=1$.
于是：
$$
g^{‘}(1) = 0.
$$
进而：
$$ \frac{\partial z}{\partial x}|_{x=1,y=1} = y f_{1}^{‘} + yg^{‘}(x)f_{2}^{‘}=yf_{1}^{‘};$$
$$
\frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial z}{\partial x})|_{x=1,y=1} =
$$
$$
f_{1}^{‘} + y[xf_{11}^{”} + g(x)f_{12}^{”}]|_{x=1,y=1} =
$$
$$
f_{1}^{‘}(1,1) + f_{11}^{”}(1,1) + f_{12}^{”}(1,1).
$$