已知，函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 点三阶可导, 且 $f^{\prime}(a)=f^{\prime \prime}(a)=0, f^{\prime \prime \prime}(a)>0$, 则：
(A) 函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=a$ 取到极大值 $f^{\prime}(a)$
(B) 函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 取到极大值 $f(a)$
(C) 函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 取到极小值 $f(a)$
(D) $(a, f(a))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
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继续阅读“三阶导是一阶导的二阶导”已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\ln x-x, & x \geqslant 1 \\ x^{2}-2 x, & x<1\end{array}\right.$, 则：
(A) $x=1$ 是 $f(x)$ 的极小值点
(B) $x=1$ 是 $f(x)$ 的极大值点
(C) $(1, f(1))$ 是 $y=f(x)$ 拐点
(D) $(1, f(1))$ 不是 $y=f(x)$ 拐点
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继续阅读“成为拐点的本质要求是二阶导的正负性发生改变，而不是二阶导等于零”以下四个结论中正确的是哪个？
(A) 设 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 是偶函数, $f_{+}^{\prime}(0)$ 存在,则 $f^{\prime}(0)$ 存在
(B) 设 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 是偶函数, 则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点
(C) 设 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 是奇函数, $f_{+}^{\prime}(0)$ 存在, 则 $f^{\prime}(0)$ 存在
(D) 设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 可导, 则曲线 $y=f(x)$ 在 $\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 处存在切线, 反之亦然
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继续阅读“关于一点处导数存在和切线与导数之间关系的几个特例”已知 $f(x)$ 有二阶连续导数, 且 $f(0)=f^{\prime}(0)=0$, $f^{\prime \prime}(x)>0$, 又设 $u=u(x)$ 是曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x, f(x))$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x}{u(x)}=?$
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继续阅读“怎么表示切线在 X 轴上的截距？”已知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 连续, 且 $f(x)=a+g(x)$, 其中 $a \neq 0$ 为常数, $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} g(x)=0$,又 $\int_{0}^{+\infty} g(t) \mathrm{d} t=b$, 则 $x \rightarrow+\infty$ 时，$y=F(x) = \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 有渐近线（）
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继续阅读“在无穷大方向上，函数可能存在水平渐近线和倾斜渐近线”已知 $f(x)$ 是周期为 $5$ 的连续函数, 在 $x=0$ 的某个邻域内, 满足 $f(1+\sin x)-3 f(1-\sin x)=8 x+\alpha(x)$. 其中当 $x \rightarrow 0$ 时, 函数 $\alpha(x)$ 是关于 $x$ 的高阶无穷小, 且 $f(x)$ 在 $x=1$ 点可导, 则曲线 $y=f(x)$在点 $(6, f(6))$ 处的切线方程为（）
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继续阅读“导数和原函数的周期性是一致的”设 $y=y(x)$ 是由方程 $2 y^{3}-2 y^{2}+2 x y-x^{2}=1$ 确定的，则 $y=y(x)$ 的极值点是哪个？
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继续阅读“如何确定隐函数的极值点？”已知 $A, B$ 都是不等于零的常数, 则微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=\mathrm{e}^{x} \cos 2 x$ 有特解：
(A) $y^{*}=x \mathrm{e}^{x}(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$
(B) $y^{*}=\mathrm{e}^{x}(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$
(C) $y^{*}=A x \mathrm{e}^{x} \cos 2 x$
(D) $y^{*}=A x \mathrm{e}^{x} \sin 2 x$
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继续阅读“不要被这道题题目中所用的变量名迷惑了哦”
已知，常数 $b > 0$, 则下面微分方程的特解是多少：
$$
y ^ { \prime \prime } + b ^ { 2 } y = \sin x
$$
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我们知道，对于形如 $y^{ \prime \prime }$ $+$ $p y^{ \prime }$ $+$ $q y$ $=$ $f (x)$ 的二阶常系数非齐次微分方程，如果 $P_{n} (x)$ 是一个 $n$ 词多项式，且：
$$
f (x) = P_{n} (x) \textcolor{magenta}{ \mathrm{e}^{\alpha x} } \textcolor{orange}{ \sin \beta x }
$$
或者：
$$
f (x) = P_{n} (x) \textcolor{magenta}{ \mathrm{e}^{\alpha x} } \textcolor{orange}{ \cos \beta x }
$$
则该二阶微分方程的特解 $y ^{*}$ 可以设为：
$$
y^{*} (x) = x^{\textcolor{white}{\colorbox{green}{ k }} } \textcolor{magenta}{ \mathrm{e}^{ \alpha x } } \left[ \textcolor{springgreen}{ Q_{n} (x) } \textcolor{orange}{ \cos \beta x } + \textcolor{springgreen}{ W_{n} (x) } \textcolor{orange}{ \sin \beta x } \right]
$$
其中：
[*]. 若 $\textcolor{magenta}{ \alpha } \pm i \textcolor{orange}{ \beta }$ 不是该微分方程的特征根，则 $\textcolor{white}{\colorbox{green}{ k = 0 }}$;
[**]. 若 $\textcolor{magenta}{ \alpha } \pm i \textcolor{orange}{ \beta }$ 是该微分方程的特征根，则 $\textcolor{white}{\colorbox{green}{ k = 1 }}$;
[***]. $\textcolor{springgreen}{ Q_{n}\left(x\right) }$ 和 $\textcolor{springgreen}{ W_{n}\left(x\right) }$ 为 $n$ 次多项式的一般形式。
从上面的基础知识我们知道，要设微分方程的特解，就要先求出来该微分方程对应的特征值，于是：
$$
\require{extpfeil}\Newextarrow{\xRightarrow}{5,5}{0x21D2}
\begin{aligned}
& y^{ \prime \prime } + b^{2} y = \sin x \\ \\
\Rightarrow & \lambda^{2} + b^{2} = 0 \\ \\
\xRightarrow{\mathrm{i} ^{2} = -1 \ } & \begin{cases}
\lambda_{1} = + b \mathrm{i} \\
\lambda_{2} = – b \mathrm{i}
\end{cases} \\ \\
\Rightarrow & \begin{cases}
\lambda_{1} = 0 + b \mathrm{i} \\
\lambda_{2} = 0 – b \mathrm{i}
\end{cases}
\end{aligned}
$$
由于：
$$
\begin{aligned}
y ^ { \prime \prime } + b ^ { 2 } y & = \sin x \\ \\
\Rightarrow y ^ { \prime \prime } + b ^ { 2 } y & = \textcolor{springgreen}{ 1 } \cdot \textcolor{magenta}{\mathrm{e} ^{0x}} \cdot \textcolor{orange}{ \sin 1 x } \\ \\
\Rightarrow y ^ { \prime \prime } + b ^ { 2 } y & = \textcolor{springgreen}{ P_{n} (x) } \cdot \textcolor{magenta}{ \mathrm{e}^{\alpha x} } \textcolor{orange}{ \sin \beta x } \\ \\
& \Rightarrow \begin{cases}
\alpha = 0 \\
\beta = 1
\end{cases}
\end{aligned}
$$
于是可知，当特征值中的 $b$ 等于 $1$ 的时候，特征值 $0 \pm \mathrm{i}$ 刚好等于 $\alpha \pm \mathrm{i} \beta$, 所以，我们需要分情况讨论 $b$ 的取值：
[01]. 当 $b = 1$ 时
特解可以设为：
$$
\textcolor{orange}{
y^{*} = A x \cos x + B x \sin x
} \tag{1}
$$
将上面的 $(1)$ 式代入原微分方程 $y ^ { \prime \prime }$ $+$ $b ^ { 2 } y$ $=$ $\sin x$, 计算步骤如下：
$$
\begin{aligned}
& \begin{cases}
\textcolor{black}{\colorbox{orange}{A}} = A x \cos x \\
\textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}} = Bx \sin x
\end{cases} \\ \\
\Rightarrow & \begin{cases}
\left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{A}} \right) ^{\prime} = A \cos x – A x \sin x \\
\left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}} \right) ^{\prime} = B \sin x + B x \cos x
\end{cases} \\ \\
\Rightarrow & \begin{cases}
\left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{A}} \right) ^{\prime \prime} = -2A \sin x – A x \cos x \\
\left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}} \right) ^{\prime \prime} = 2B \cos x – B x \sin x
\end{cases} \\ \\
\Rightarrow & y ^ { \prime \prime } + b ^ { 2 } y = \sin x \\ \\
\Rightarrow & \left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{A}} \right) ^{\prime \prime} + \left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}} \right) ^{\prime \prime} + b ^{2} \left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{A}} + \textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}} \right) = \sin x \\ \\
\xRightarrow{b = 1 \ } & \left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{A}} \right) ^{\prime \prime} + \left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}} \right) ^{\prime \prime} + \left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{A}} + \textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}} \right) = \sin x \\ \\
\Rightarrow & -2A \sin x + 2B \cos x = \sin x \\ \\
\Rightarrow & \begin{cases}
-2A = 1 \\
2B = 0
\end{cases} \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{ \begin{cases}
A = – \frac { 1 } { 2 } \\
B = 0
\end{cases} }
\end{aligned}
$$
于是，此时微分方程的特解为：
$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
y = – \frac{1}{2} \textcolor{white}{\colorbox{green}{x}} \cos x
}
}
$$
[02]. 当 $b \neq 1$ 时
特解可以设为：
$$
\textcolor{orange}{
y^{*} = C \cos x + D \sin x
} \tag{2}
$$
将上面的 $(2)$ 式代入原微分方程 $y ^ { \prime \prime }$ $+$ $b ^ { 2 } y$ $=$ $\sin x$, 计算步骤如下：
$$
\begin{aligned}
& y^{ \prime \prime } + b^{ 2 } y = \sin x \\ \\
\Rightarrow & -C \cos x – D \sin x + b ^{2} \left( C \cos x + D \sin x \right) = \sin x \\ \\
\Rightarrow & \begin{cases}
-D + b ^{2} D = 1 \\
-C + b ^{2} C = 0
\end{cases} \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{ \begin{cases}
C = 0 \\
D = \frac { 1 } { b ^ { 2 } – 1 }
\end{cases} } \\ \\
\end{aligned}
$$
于是，此时微分方程的特解为：
$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
y = \frac{1} { a^{2} – 1 } \sin x
}
}
$$
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以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
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已知 $f_{1}(x), f_{2}(x)$ 为二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0$ 的两个特解, $C_{1}, C_{2}$是两个任意常数, 则 $C_{1} f_{1}(x)+C_{2} f_{2}(x)$ 是该方程通解的充分条件是：
(A) $f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)-f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x)=0$
(B) $f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)+f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x)=0$
(C) $f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)+f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x) \neq 0$
(D) $f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)-f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x) \neq 0$
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继续阅读“只有线性无关的解才能组合形成齐次微分方程的通解”已知 $y_{1}(x)$ 和 $y_{2}(x)$ 是方程 $y^{\prime}+p(x) y=0$ 的两个不同的特解，则该方程的通解为：
(A) $y=C y_{1}(x)$
(B) $y=C y_{2}(x)$
(C) $y=C_{1} y_{1}(x)+C_{2} y_{2}(x)$
(D) $y=C\left(y_{1}(x)-y_{2}(x)\right)$
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继续阅读“只有齐次线性方程组的解相减得到的解才一定是新的解”已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \geqslant 0 \\ \cos x, & x<0\end{array}\right.$, $\quad g(x)=\left\{\begin{array}{cc}x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$, 则在区间 $(-1,1)$ 上
(A) $f(x)$ 与 $g(x)$ 都存在原函数
(B) $f(x)$ 与 $g(x)$ 都不存在原函数
(C) $f(x)$ 不存在原函数, $g(x)$ 存在原函数
(D) $f(x)$ 存在原函数, $g(x)$ 不存在原函数
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继续阅读“不连续的函数可能有导数，但只有连续的函数才会一定有原函数”函数 $F(x)=\int_{x}^{x+\pi} \ln \left(1+\cos ^{2} t\right) \cos 2 t \mathrm{~d} t$
(A) 一定为正数
(B) 一定为负数
(C) 恒为零
(D) 不是常数
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继续阅读“具有周期性并不意味着周期上的积分就一定等于零”
