「零负」乘以「零负」得「零正」

一、题目

已知 $y=y(x)$ 在 $x=0$ 邻域二阶连续可导且满足 $x y^{\prime \prime}+y^{\prime 2}=\arctan ^{2} x$, 则：

(A) $x=0$ 是 $y(x)$ 的极小值点

(B) $x=0$ 是 $y(x)$ 的极大值点

(C) $(0, y(0))$ 点是 $y=y(x)$ 的拐点

(D) 以上均不对

难度评级：

二、解析

由题可知：

$$
x y^{\prime \prime}+y^{\prime 2}=\arctan { }^{2} x \Rightarrow
$$

$$
x=0 \Rightarrow 0+y^{\prime 2}=0 \Rightarrow y^{\prime}=0
$$

又：

$$
x \rightarrow 0^{+} \Rightarrow 0^{+} \cdot y^{\prime \prime}+0^{+}=0^{+} \Rightarrow y^{\prime \prime} \rightarrow 0^{+}
$$

$$
x \rightarrow 0^{-} \Rightarrow 0^{-} \cdot y^{\prime \prime}+0^{+}=0^{+} \Rightarrow y^{\prime \prime} \rightarrow 0^{-}
$$

综上可知，本题应选 C.

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