高等数学基础归档 - 第20页共54页

数项级数的加减运算：全都发散的加减敛散性（B023）

问题

已知有两个级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$, 且 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 均发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ 的敛散性如何？

选项

[A]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ 发散

[B]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ 收敛

[C]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ 的敛散性不确定

[D]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ 的敛散性不确定 $=$ $0$

答案

$\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ 的敛散性不确定

数项级数的加减运算：一敛一散的加减敛散性（B023）

问题

已知有两个级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$, 且 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛，$\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ 的敛散性如何？

选项

[A]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ $=$ $0$

[B]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ 敛散性不确定

[C]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ 收敛

[D]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ 发散

答案

$\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ 发散

数项级数的加减运算：求和结果的加减性质（B023）

问题

已知有两个级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$, 且 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ $=$ $s$, $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ $=$ $\sigma$, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ $=$ $?$

选项

[A]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ $=$ $s$ $\mp$ $\sigma$

[B]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ $=$ $s$ $\pm$ $\sigma$

[C]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ $=$ $\frac{s}{\sigma}$

[D]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ $=$ $s$ $\times$ $\sigma$

答案

$\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ $=$ $s$ $\pm$ $\sigma$

非零常数对数项级数敛散性的影响（B023）

问题

已知 $c$ 为非零常数，则，$\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $c$ $\cdot$ u_{n}$ 的敛散性关系如何？

选项

[A]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $c$ $\cdot$ u_{n}$ 的敛散性不能确定

[B]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $c$ $\cdot$ u_{n}$ 的敛散性无关

[C]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $c$ $\cdot$ u_{n}$ 的敛散性相反

[D]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $c$ $\cdot$ u_{n}$ 的敛散性相同

答案

$\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $c$ $\cdot$ u_{n}$ 的敛散性相同

旋度的定义（B022）

问题

已知 $\boldsymbol{A}(x, y, z)$ $=$ $P(x, y, z)$ $\boldsymbol{i}$ $+$ $Q(x, y, z)$ $\boldsymbol{j}$ $+$ $R(x, y, z)$ $\boldsymbol{k}$, 则旋度 $\boldsymbol{r o t} \mathbf{A}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\boldsymbol{r o t} \mathbf{A}$ $=$ $($ $\frac{\partial R}{\partial y}$ $-$ $\frac{\partial Q}{\partial z}$ $)$ $\boldsymbol{i}$ $\times$ $($ $\frac{\partial P}{\partial z}$ $-$ $\frac{\partial R}{\partial x}$ $)$ $\boldsymbol{j}$ $\times$ $($ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $-$ $\frac{\partial P}{\partial y}$ $)$ $\boldsymbol{k}$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{array}\right|$

[B]. $\boldsymbol{r o t} \mathbf{A}$ $=$ $($ $\frac{\partial R}{\partial y}$ $+$ $\frac{\partial Q}{\partial z}$ $)$ $\boldsymbol{i}$ $-$ $($ $\frac{\partial P}{\partial z}$ $+$ $\frac{\partial R}{\partial x}$ $)$ $\boldsymbol{j}$ $-$ $($ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $+$ $\frac{\partial P}{\partial y}$ $)$ $\boldsymbol{k}$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{array}\right|$

[C]. $\boldsymbol{r o t} \mathbf{A}$ $=$ $($ $\frac{\partial R}{\partial y}$ $-$ $\frac{\partial Q}{\partial z}$ $)$ $\boldsymbol{i}$ $+$ $($ $\frac{\partial P}{\partial z}$ $-$ $\frac{\partial R}{\partial x}$ $)$ $\boldsymbol{j}$ $+$ $($ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $-$ $\frac{\partial P}{\partial y}$ $)$ $\boldsymbol{k}$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{array}\right|$

[D]. $\boldsymbol{r o t} \mathbf{A}$ $=$ $($ $\frac{\partial R}{\partial y}$ $-$ $\frac{\partial Q}{\partial z}$ $)$ $\boldsymbol{i}$ $+$ $($ $\frac{\partial P}{\partial z}$ $-$ $\frac{\partial R}{\partial x}$ $)$ $\boldsymbol{j}$ $+$ $($ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $-$ $\frac{\partial P}{\partial y}$ $)$ $\boldsymbol{k}$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} P & Q & R \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \end{array}\right|$

答案

$\boldsymbol{r o t} \mathbf{A}$ $=$ $($ $\frac{\partial R}{\partial y}$ $-$ $\frac{\partial Q}{\partial z}$ $)$ $\boldsymbol{i}$ $+$ $($ $\frac{\partial P}{\partial z}$ $-$ $\frac{\partial R}{\partial x}$ $)$ $\boldsymbol{j}$ $+$ $($ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $-$ $\frac{\partial P}{\partial y}$ $)$ $\boldsymbol{k}$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{array}\right|$

散度的定义（B022）

问题

已知 $\boldsymbol{A}(x, y, z)$ $=$ $P(x, y, z)$ $\boldsymbol{i}$ $+$ $Q(x, y, z)$ $\boldsymbol{j}$ $+$ $R(x, y, z)$ $\boldsymbol{k}$, 则，$\boldsymbol{A}$ 在点 $(x, y, z)$ 处的散度 $\operatorname{div} \boldsymbol{A}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\operatorname{div} \boldsymbol{A}$ $=$ $\frac{\partial x}{\partial P}$ $+$ $\frac{\partial y}{\partial Q}$ $+$ $\frac{\partial z}{\partial R}$

[B]. $\operatorname{div} \boldsymbol{A}$ $=$ $\frac{\partial P}{\partial x}$ $\times$ $\frac{\partial Q}{\partial y}$ $\times$ $\frac{\partial R}{\partial z}$

[C]. $\operatorname{div} \boldsymbol{A}$ $=$ $\frac{\partial P}{\partial x}$ $-$ $\frac{\partial Q}{\partial y}$ $-$ $\frac{\partial R}{\partial z}$

[D]. $\operatorname{div} \boldsymbol{A}$ $=$ $\frac{\partial P}{\partial x}$ $+$ $\frac{\partial Q}{\partial y}$ $+$ $\frac{\partial R}{\partial z}$

答案

$\operatorname{div} \boldsymbol{A}$ $=$ $\frac{\partial P}{\partial x}$ $+$ $\frac{\partial Q}{\partial y}$ $+$ $\frac{\partial R}{\partial z}$

通量/流量的定义（B022）

问题

已知 $\boldsymbol{A}(x, y, z)$ $=$ $P(x, y, z)$ $\boldsymbol{i}$ $+$ $Q(x, y, z)$ $\boldsymbol{j}$ $+$ $R(x, y, z)$ $\boldsymbol{k}$, 且 $P$, $Q$, $R$ 有一阶连续偏导数，$\Sigma$ 为场内一有向曲面，$\boldsymbol{n}$ 为 $\Sigma$ 上点 $(x, y, z)$ 处的单位法向量，则，根据通量（或者称之为“流量”）的定义，以下哪个选项是 $\boldsymbol{A}$ 通过曲面 $\Sigma$ 向着指定侧的通量（流量）？

选项

[A]. $\iint_{\Sigma}$ $\boldsymbol{A}$ $\mathrm{~d} S$

[B]. $\iint_{\Sigma}$ $\boldsymbol{A}$ $\cdot$ $\boldsymbol{n}$ $\mathrm{~d} S$

[C]. $\boldsymbol{n}$ $\cdot$ $\iint_{\Sigma}$ $\boldsymbol{A}$ $\mathrm{~d} S$

[D]. $\iint_{\Sigma}$ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{n}$ $\mathrm{~d} S$

答案

$\iint_{\Sigma}$ $\boldsymbol{A}$ $\cdot$ $\boldsymbol{n}$ $\mathrm{~d} S$

斯托克斯公式（B021）

问题

已知，$\Gamma$ 为分段光滑的空间有向闭曲线，$\Sigma$ 是以 $\Gamma$ 为边界的分片光滑的有向曲面，$\Gamma$ 的正向与 $\Sigma$ 的侧符合右手规则，且 $P$, $Q$, $R$ 在包含曲面 $\Sigma$ 在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则，根据斯托克斯公式，$\oint_{\Gamma}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ $+$ $R$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $?$

选项

[A]. $\oint_{\Gamma}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ $+$ $R$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $\iint_{\Sigma}$ $($ $\frac{\partial R}{\partial y}$ $-$ $\frac{\partial Q}{\partial z}$ $)$ $\mathrm{d} y$ $\mathrm{~d} z$ $-$ $($ $\frac{\partial P}{\partial z}$ $-$ $\frac{\partial R}{\partial x}$ $)$ $\mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ $-$ $($ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $-$ $\frac{\partial P}{\partial y}$ $)$ $\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$

[B]. $\oint_{\Gamma}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ $+$ $R$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $\iint_{\Sigma}$ $($ $\frac{\partial R}{\partial y}$ $+$ $\frac{\partial Q}{\partial z}$ $)$ $\mathrm{d} y$ $\mathrm{~d} z$ $+$ $($ $\frac{\partial P}{\partial z}$ $+$ $\frac{\partial R}{\partial x}$ $)$ $\mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ $+$ $($ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $+$ $\frac{\partial P}{\partial y}$ $)$ $\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$

[C]. $\oint_{\Gamma}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ $+$ $R$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $\iint_{\Sigma}$ $($ $\frac{\partial R}{\partial y}$ $-$ $\frac{\partial Q}{\partial z}$ $)$ $\mathrm{d} y$ $\mathrm{~d} z$ $+$ $($ $\frac{\partial P}{\partial z}$ $-$ $\frac{\partial R}{\partial x}$ $)$ $\mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ $+$ $($ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $-$ $\frac{\partial P}{\partial y}$ $)$ $\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$

[D]. $\oint_{\Gamma}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $\times$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ $+$ $R$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $\iint_{\Sigma}$ $($ $\frac{\partial R}{\partial y}$ $-$ $\frac{\partial Q}{\partial z}$ $)$ $\mathrm{d} y$ $\mathrm{~d} z$ $\times$ $($ $\frac{\partial P}{\partial z}$ $-$ $\frac{\partial R}{\partial x}$ $)$ $\mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ $+$ $($ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $-$ $\frac{\partial P}{\partial y}$ $)$ $\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$

答案

$\oint_{\Gamma}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ $+$ $R$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $\iint_{\Sigma}$ $($ $\frac{\partial R}{\partial y}$ $-$ $\frac{\partial Q}{\partial z}$ $)$ $\mathrm{d} y$ $\mathrm{~d} z$ $+$ $($ $\frac{\partial P}{\partial z}$ $-$ $\frac{\partial R}{\partial x}$ $)$ $\mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ $+$ $($ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $-$ $\frac{\partial P}{\partial y}$ $)$ $\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ $=$ $\iint_{\Sigma}\left|\begin{array}{ccc} \mathrm{d} y \mathrm{~d} z & \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x & \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{array}\right|$ $=$ $\iint_{\Sigma}\left|\begin{array}{ccc}\cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{array}\right| \mathrm{d} S.$

其中，$n$ $=$ $($ $\cos \alpha$, $\cos \beta$, $\cos \gamma$ $)$ 为 $\Sigma$ 的单位法向量.

高斯公式/高斯定理（B021）

问题

已知，存在有界闭合空间区域 $\Omega$, 其边界 $\partial \Omega$ 为分片滑的闭曲面。函数 $P(x, y, z)$, $Q(x, y, z)$, $R(x, y, z)$ 及其一阶偏导数在空间区域 $\Omega$ 上连续，那么，根据高斯公式，第二类曲面积分

$P$ $\mathrm{d} y \mathrm{d} z$ $+$ $Q$ $\mathrm{d} z \mathrm{d} x$ $+$ $R$ $\mathrm{d} x \mathrm{d} y$ 转换为三重积分该如何表示？

选项

[A].

$P$ $\mathrm{d} y \mathrm{d} z$ $+$ $Q$ $\mathrm{d} z \mathrm{d} x$ $+$ $R$ $\mathrm{d} x \mathrm{d} y$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $\partial P \cdot \partial x$ $+$ $\partial Q \cdot \partial y$ $+$ $\partial R \cdot \partial z$ $)$ $\mathrm{d} V$

[B].

$P$ $\mathrm{d} y \mathrm{d} z$ $+$ $Q$ $\mathrm{d} z \mathrm{d} x$ $+$ $R$ $\mathrm{d} x \mathrm{d} y$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $\frac{\partial P}{\partial x}$ $\times$ $\frac{\partial Q}{\partial y}$ $\times$ $\frac{\partial R}{\partial z}$ $)$ $\mathrm{d} V$

[C].

$P$ $\mathrm{d} y \mathrm{d} z$ $+$ $Q$ $\mathrm{d} z \mathrm{d} x$ $+$ $R$ $\mathrm{d} x \mathrm{d} y$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $\frac{\partial P}{\partial x}$ $-$ $\frac{\partial Q}{\partial y}$ $-$ $\frac{\partial R}{\partial z}$ $)$ $\mathrm{d} V$

[D].

$P$ $\mathrm{d} y \mathrm{d} z$ $+$ $Q$ $\mathrm{d} z \mathrm{d} x$ $+$ $R$ $\mathrm{d} x \mathrm{d} y$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $\frac{\partial P}{\partial x}$ $+$ $\frac{\partial Q}{\partial y}$ $+$ $\frac{\partial R}{\partial z}$ $)$ $\mathrm{d} V$

答案

或记作：
$($ $P$ $\cos \alpha$ $+$ $Q$ $\cos \beta$ $+$ $R$ $\cos \gamma$ $)$ $\mathrm{d} S$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $\frac{\partial P}{\partial x}$ $+$ $\frac{\partial Q}{\partial y}$ $+$ $\frac{\partial R}{\partial z}$ $)$ $\mathrm{d} V$

其中，$\partial \Omega$ 是空间 $\Omega$ 整个边界曲面的外侧，$\cos \alpha$, $\cos \beta$, $\cos \gamma$ 为 $\partial \Omega$ 的外法向量的方向余弦。

平面曲线积分与路径无关的性质（B021）

问题

已知函数 $P(x, y)$, $Q(x, y)$ 在单连通区域 $D$ 内具有一阶连续偏导数，$L$ 为 $D$ 内任一条简单分段光滑的封闭曲线，则，根据格林公式，以下哪个选项可以说明曲线积分 $\oint_{L}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ 在区域 $D$ 内与路径无关？

注意：所谓“单连通区域”就是光滑连续没有“洞”的区域.

选项

[A]. $\oint_{L}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ $\neq$ $0$

[B]. $\oint_{L}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ $=$ $1$

[C]. $\oint_{L}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ $=$ $0$

[D]. $\oint_{L}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ $\neq$ $1$

答案

$\oint_{L}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ 与路径无关 $\Leftrightarrow$ $\oint_{L}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ $=$ $0$ $\Leftrightarrow$ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $=$ $\frac{\partial P}{\partial y}$, $\forall(x, y)$ $\in$ $D$ $\Leftrightarrow$ 存在函数 $u(x, y)$, $(x, y)$ $\in$ $D$, 使得 $\mathrm{d}$ $u(x, y)$ $=$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$, 此时 $u(x, y)$ $=$ $\int_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}^{(x, y)}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$.

格林公式（B021）

问题

已知闭区域 $D$ 由分段光滑的曲线 $L$ 围成（$L$ 为 $D$ 的取正向的边界曲线），函数 $P(x, y)$ 和 $Q(x, y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，则，根据格林公式，以下等式正确的是哪个？

选项

[A]. $\oint_{L}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ $=$ $\iint_{D}$ $\big($ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $-$ $\frac{\partial P}{\partial y}$ $\big)$ $\mathrm{d} x$ $\mathrm{~d} y$

[B]. $\oint_{L}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ $=$ $\iint_{D}$ $\big($ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $\times$ $\frac{\partial P}{\partial y}$ $\big)$ $\mathrm{d} x$ $\mathrm{~d} y$

[C]. $\oint_{L}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ $=$ $\iint_{D}$ $\big($ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $\div$ $\frac{\partial P}{\partial y}$ $\big)$ $\mathrm{d} x$ $\mathrm{~d} y$

[D]. $\oint_{L}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ $=$ $\iint_{D}$ $\big($ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $+$ $\frac{\partial P}{\partial y}$ $\big)$ $\mathrm{d} x$ $\mathrm{~d} y$

答案

$\oint_{L}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ $=$ $\iint_{D}$ $\big($ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $-$ $\frac{\partial P}{\partial y}$ $\big)$ $\mathrm{d} x$ $\mathrm{~d} y$

格林公式描述了第二类曲线积分和二重积分之间的关系，一般用于二元函数的全微分求积.

空间物体对质点的引力（B020）

问题

已知物体占有空间区域 $\Omega$, 在点 $(x, y, z)$ 处的密度为 $\rho(x, y, z)$, $\Omega$ 外有一质点 $M_{0}$ $($ $x_{0}$, $y_{0}$, $z_{0}$ $)$, 其质量为 $m_{0}$, 假定 $\rho(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上连续，则该物体对质点的引力为 $\boldsymbol{F}$ $=$ $\{$ $F_{x}$, $F_{y}$, $F_{z}$ $\}$, 则 $F_{x}$ $=$ $?$, $F_{y}$ $=$ $?$, $F_{z}$ $=$ $?$

其中，以下选项中的 $G$ 为引力常数.

选项

[A].
$F_{x}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(x-x_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]}$ $\mathrm{~d} v$,
$F_{y}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(y-y_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]}$ $\mathrm{~d} v$,
$F_{z}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(z-z_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]}$ $\mathrm{~d} v$.

[B].
$F_{x}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(x-x_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$,
$F_{y}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(y-y_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$,
$F_{z}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(z-z_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$.

[C].
$F_{x}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(x-x_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)+\left(y-y_{0}\right)+\left(z-z_{0}\right)\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$,
$F_{y}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(y-y_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)+\left(y-y_{0}\right)+\left(z-z_{0}\right)\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$,
$F_{z}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(z-z_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)+\left(y-y_{0}\right)+\left(z-z_{0}\right)\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$.

[D].
$F_{x}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(x-x_{0}\right)}{\left[\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}+\left(z+z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$,
$F_{y}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(y-y_{0}\right)}{\left[\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}+\left(z+z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$,
$F_{z}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(z-z_{0}\right)}{\left[\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}+\left(z+z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$.

答案

$F_{x}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(x-x_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$,
$F_{y}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(y-y_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$,
$F_{z}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(z-z_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$.

空间立体的转动惯量（B020）

问题

已知空间立体 $\Omega$ 的体密度为 $\rho(x, y, z)$, 且 $\rho(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上连续，设立体对 $x$ 轴，$y$ 轴，$z$ 轴的转动惯量分别为 $I_{x}$, $I_{y}$, $I_{z}$, 则 $I_{x}$ $=$ $?$, $I_{y}$ $=$ $?$, $I_{z}$ $=$ $?$

选项

[A]. $I_{x}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $y^{\prime}$ $+$ $z^{\prime}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{y}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x^{\prime}$ $+$ $z^{\prime}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{z}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x^{\prime}$ $+$ $y^{\prime}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[B]. $I_{x}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $y$ $+$ $z$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{y}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x$ $+$ $z$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{z}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x$ $+$ $y$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[C]. $I_{x}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $y^{2}$ $+$ $z^{2}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{y}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x^{2}$ $+$ $z^{2}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{z}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x^{2}$ $+$ $y^{2}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[D]. $I_{x}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $y^{2}$ $+$ $z^{2}$ $)$ $\rho^{\prime}(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{y}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x^{2}$ $+$ $z^{2}$ $)$ $\rho^{\prime}(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{z}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x^{2}$ $+$ $y^{2}$ $)$ $\rho^{\prime}(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

答案

$I_{x}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $y^{2}$ $+$ $z^{2}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{y}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x^{2}$ $+$ $z^{2}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{z}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x^{2}$ $+$ $y^{2}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

平面薄片的转动惯量（B020）

问题

已知薄片 $D$ 的面密度为 $\rho(x, y)$, 且 $\rho(x, y)$ 在 $D$ 上连续，若设该薄片对于 $x$ 轴和 $y$ 轴的转动惯量分别为 $I_{x}$, $I_{y}$, 则 $I_{x}$ $=$ $?$, $I_{y}$ $=$ $?$

选项

[A]. $I_{x}$ $=$ $\iint_{D}$ $y^{\prime}$ $\rho(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$, $I_{y}$ $=$ $\iint_{D}$ $x^{\prime}$ $\rho(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$

[B]. $I_{x}$ $=$ $\iint_{D}$ $y$ $\rho(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$, $I_{y}$ $=$ $\iint_{D}$ $x$ $\rho(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$

[C]. $I_{x}$ $=$ $\iint_{D}$ $y^{2}$ $\rho(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$, $I_{y}$ $=$ $\iint_{D}$ $x^{2}$ $\rho(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$

[D]. $I_{x}$ $=$ $\iint_{D}$ $y^{2}$ $\rho^{\prime}(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$, $I_{y}$ $=$ $\iint_{D}$ $x^{2}$ $\rho^{\prime}(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$

答案

$I_{x}$ $=$ $\iint_{D}$ $y^{2}$ $\rho(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$, $I_{y}$ $=$ $\iint_{D}$ $x^{2}$ $\rho(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$

空间立体的质心坐标（B020）

问题

已知空间立体 $\Omega$ 的体密度为 $\rho(x, y, z)$, 且 $\rho(x, y, z)$ 在空间立体 $\Omega$ 上连续，则，该立体的质心坐标 $(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})$ 为多少？

选项

[A]. $\bar{x}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} x \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$, $\bar{y}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} y^{2} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$, $\bar{z}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} z^{2} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$

[B]. $\bar{x}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} x \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$, $\bar{y}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} y \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$, $\bar{z}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} z \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$

[C]. $\bar{x}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} x \rho^{\prime}(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$, $\bar{y}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} y \rho^{\prime}(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$, $\bar{z}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} z \rho^{\prime}(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$

[D]. $\bar{x}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} x \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$, $\bar{y}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} y \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$, $\bar{z}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} z \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$

答案

$\bar{x}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} x \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$, $\bar{y}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} y \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$, $\bar{z}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} z \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$