高等数学基础归档 - 第20页共55页

正项级数的根值判别法： $lim_{n \to \infty}$ $\sqrt[n]{u_{n}}$ $=$ $ρ$ $<$ $1$ （B024）

问题

已知

u_{n}

\geq

0

n

=

1

2

\dots

, 若，对

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

, 有

lim_{n \to \infty}

\sqrt[n]{u_{n}}

=

ρ

<

1

, 则

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

的敛散性如何？

（适用于 $u_{n}$ 中含有以 $n$ 为指数幂的因子）

选项

[A]. 无法确定

[B]. 收敛

[C]. 发散

答案

收敛

正项级数的根值判别法： $lim_{n \to \infty}$ $\sqrt[n]{u_{n}}$ $=$ $ρ$ $=$ $1$ （B024）

问题

已知

u_{n}

\geq

0

n

=

1

2

\dots

, 若，对

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

, 有

lim_{n \to \infty}

\sqrt[n]{u_{n}}

=

ρ

=

1

, 则

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

的敛散性如何？

（适用于 $u_{n}$ 中含有以 $n$ 为指数幂的因子）

选项

[A]. 收敛

[B]. 发散

[C]. 无法确定

答案

无法确定

正项级数的根值判别法： $lim_{n \to \infty}$ $\sqrt[n]{u_{n}}$ $=$ $ρ$ $>$ $1$ （B024）

问题

已知

u_{n}

\geq

0

n

=

1

2

\dots

, 若，对

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

, 有

lim_{n \to \infty}

\sqrt[n]{u_{n}}

=

ρ

>

1

, 则

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

的敛散性如何？

（适用于 $u_{n}$ 中含有以 $n$ 为指数幂的因子）

选项

[A]. 无法确定

[B]. 收敛

[C]. 发散

答案

发散

正项级数的比值判别法/达朗贝尔准则： $lim_{n \to \infty}$ $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ $=$ $ρ$ $<$ $1$ （B024）

问题

已知

u_{n}

\geq

0

n

=

1

2

\dots

, 则，当

lim_{n \to \infty}

\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}

=

ρ

<

1

时，

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

的敛散性如何？

（适用于通项 $u_{n}$ 中含有 $n!$ 或关于 $n$ 的若干连乘形式.）

选项

[A]. 发散

[B]. 收敛

[C]. 无法判断

答案

收敛

正项级数的比值判别法/达朗贝尔准则： $lim_{n \to \infty}$ $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ $=$ $ρ$ $=$ $1$ （B024）

问题

已知

u_{n}

\geq

0

n

=

1

2

\dots

, 则，当

lim_{n \to \infty}

\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}

=

ρ

=

1

时，

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

的敛散性如何？

（适用于通项 $u_{n}$ 中含有 $n!$ 或关于 $n$ 的若干连乘形式.）

选项

[A]. 收敛

[B]. 发散

[C]. 无法判断

答案

无法判断

正项级数的比值判别法/达朗贝尔准则： $lim_{n \to \infty}$ $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ $=$ $ρ$ $>$ $1$ （B024）

问题

已知

u_{n}

\geq

0

n

=

1

2

\dots

, 则，当

lim_{n \to \infty}

\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}

=

ρ

>

1

时，

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

的敛散性如何？

（适用于通项 $u_{n}$ 中含有 $n!$ 或关于 $n$ 的若干连乘形式.）

选项

[A]. 收敛

[B]. 发散

[C]. 无法判断

答案

发散

正项级数比较判别法的极限形式： $0$ $<$ $A$ $⩽$ $+ \infty$ （B024）

问题

已知，

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

及

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

均为正项级数，且

lim_{n \to \infty}

\frac{u_{n}}{v_{n}}

=

A

(

v_{n}

\neq

0

)

若 $0$ $<$ $A$ $⩽$ $+ \infty$ , 则 $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $v_{n}$ 和 $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $u_{n}$ 之间敛散性的关系如何？

选项

[A]. 若

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

发散，则

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

发散

[B]. 若

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

收敛，则

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

收敛

[C]. 若

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

收敛，则

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

发散

[D]. 若

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

发散，则

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

收敛

答案

若 $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散，则 $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散

正项级数比较判别法的极限形式： $0$ $⩽$ $A$ $<$ $+ \infty$ （B024）

问题

已知，

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

及

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

均为正项级数，且

lim_{n \to \infty}

\frac{u_{n}}{v_{n}}

=

A

(

v_{n}

\neq

0

)

若 $0$ $⩽$ $A$ $<$ $+ \infty$ , 则 $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $v_{n}$ 和 $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $u_{n}$ 之间敛散性的关系如何？

选项

[A]. 若

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

发散，则

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

收敛

[B]. 若

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

收敛，则

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

发散

[C]. 若

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

收敛，则

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

收敛

[D]. 若

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

发散，则

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

发散

答案

若 $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛

问题

已知

0

⩽

u_{n}

⩽

v_{n}

, 则，以下关于正项级数

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

和

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

的敛散性关系的说法中，正确的是哪个？

选项

[A].
若

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

收敛，则

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

收敛
若

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

发散，则

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

发散

[B].
若

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

收敛，则

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

发散
若

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

发散，则

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

收敛

[C].
若

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

收敛，则

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

收敛
若

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

发散，则

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

发散

[D].
若

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

收敛，则

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

收敛
若

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

发散，则

\sum_{n = 1}^{\infty}

v_{n}

发散

答案

若 $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛
若 $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散，则 $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散

级数 $\sum_{n = 2}^{\infty}$ $\frac{1}{n \ln^{p} n}$ 的敛散性判别（B024）

问题

关于级数

\sum_{n = 2}^{\infty}

\frac{1}{n \ln^{p} n}

的敛散性，以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A].

\sum_{n = 2}^{\infty}

\frac{1}{n \ln^{p} n}

{\begin{cases} 收 敛, & p ⩾ 1, \\ 发 散, & p ⩽ 1. \end{cases}

[B].

\sum_{n = 2}^{\infty}

\frac{1}{n \ln^{p} n}

{\begin{cases} 收 敛, & p > 1, \\ 发 散, & p < 1. \end{cases}

[C].

\sum_{n = 2}^{\infty}

\frac{1}{n \ln^{p} n}

{\begin{cases} 收 敛, & p > 0, \\ 发 散, & p ⩽ 0. \end{cases}

[D].

\sum_{n = 2}^{\infty}

\frac{1}{n \ln^{p} n}

{\begin{cases} 收 敛, & p > 1, \\ 发 散, & p ⩽ 1. \end{cases}

答案

$\sum_{n = 2}^{\infty}$ $\frac{1}{n \ln^{p} n}$ ${\begin{cases} 收敛, & p > 1, \\ 发散, & p ⩽ 1. \end{cases}$

$p$ 级数 $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $\frac{1}{n^{p}}$ 的敛散性判别（B024）

问题

关于

p

级数

\sum_{n = 1}^{\infty}

\frac{1}{n^{p}}

的敛散性，以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A].

\sum_{n = 1}^{\infty}

\frac{1}{n^{p}} {\begin{cases} 收 敛, p ⩾ 1, \\ 发 散, p ⩽ 1 . \end{cases}

[B].

\sum_{n = 1}^{\infty}

\frac{1}{n^{p}} {\begin{cases} 收 敛, p > 1, \\ 发 散, p = 1 . \end{cases}

[C].

\sum_{n = 1}^{\infty}

\frac{1}{n^{p}} {\begin{cases} 收 敛, p > 1, \\ 发 散, p ⩽ 1 . \end{cases}

[D].

\sum_{n = 1}^{\infty}

\frac{1}{n^{p}}

{\begin{cases} 收 敛, p > 1, \\ 发 散, p < 1 . \end{cases}

答案

$\sum_{n = 1}^{\infty}$ $\frac{1}{n^{p}} {\begin{cases} 收敛, p > 1, \\ 发散, p ⩽ 1 . \end{cases}$

等比级数 $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $a q^{n - 1}$ 的敛散性判别（B024）

问题

关于等比级数

\sum_{n = 1}^{\infty}

a q^{n - 1}

的敛散性，以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A].

\sum_{n = 1}^{\infty}

a q^{n - 1}

{\begin{cases} = \frac{a}{1 - q}, & | q | < 1, \\ 发 散, & | q | > 1. \end{cases}

[B].

\sum_{n = 1}^{\infty}

a q^{n - 1}

{\begin{cases} = \frac{a}{1 - q}, & | q | < 1, \\ 发 散, & | q | = 1. \end{cases}

[C].

\sum_{n = 1}^{\infty}

a q^{n - 1}

{\begin{cases} = \frac{a}{1 - q}, & | q | < 1, \\ 发 散, & | q | \geq 1. \end{cases}

[D].

\sum_{n = 1}^{\infty}

a q^{n - 1}

{\begin{cases} = \frac{a}{1 - q}, & | q | \leq 1, \\ 发 散, & | q | \geq 1. \end{cases}

答案

$\sum_{n = 1}^{\infty}$ $a q^{n - 1}$ ${\begin{cases} = \frac{a}{1 - q}, & | q | < 1, \\ 发散, & | q | \geq 1. \end{cases}$

问题

级数

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

收敛的必要条件是？

选项

[A].

lim_{n \to \infty}

u_{n}

=

- 1

[B].

lim_{n \to \infty}

u_{n}

=

\infty

[C].

lim_{n \to \infty}

u_{n}

=

1

[D].

lim_{n \to \infty}

u_{n}

=

0

答案

$lim_{n \to \infty}$ $u_{n}$ $=$ $0$

问题

以下关于加括号后所得的新级数的敛散性和原级数的之间关系的结论中，正确的是哪一项？

选项

[A].
若一个级数加括号后所得的新级数发散，则，原级数收敛
若一个级数加括号后所得的新级数收敛，则，原级数发散

[B].
若一个级数加括号后所得的新级数发散，则，原级数发散
若一个级数加括号后所得的新级数收敛，则，原级数的收敛

[C].
若一个级数加括号后所得的新级数发散，则，原级数收敛
若一个级数加括号后所得的新级数收敛，则，原级数的敛散性不定

[D].
若一个级数加括号后所得的新级数发散，则，原级数发散
若一个级数加括号后所得的新级数收敛，则，原级数的敛散性不定

答案

若一个级数加括号后所得的新级数发散，则，原级数发散
若一个级数加括号后所得的新级数收敛，则，原级数的敛散性不定

解释：括号具有“约束”作用，对一个级数中的项任意的添加括号可以使这个级数具备趋向于收敛的趋势（但不一定会真的收敛）。

括号对级数求和结果的影响（B023）

问题

已知，级数

\sum_{n = 1}^{\infty}

u_{n}

收敛，则对其各项任意加括号后所得的新级数与原级数之间存在怎样的关系？

选项

[A]. 新级数的收敛值与原级数无关

[B]. 新级数的收敛值小于原级数

[C]. 新级数的收敛值大于原级数

[D]. 新级数仍收敛于原级数的和

答案

新级数仍收敛于原级数的和