高等数学基础归档 - 第17页共56页

利用奇延拓计算 $[0, l]$ 上非周期函数的傅里叶展开式（B027）

问题

已知函数

f (x)

为

[0, l]

上的非周期函数，并且，可以利用奇延拓构造出在

[- l, l]

上为奇函数的

G (x)

=

{\begin{cases} f (x), & 0 ⩽ x ⩽ l \\ - f (- x), & - l ⩽ x < 0 \end{cases}

则，以下关于函数 $f (x)$ 基于奇延拓的傅里叶展开式，正确的是哪个？

选项

[A].

f (x)

\sim

\sum_{n = 0}^{\infty}

b_{n}

\sin \frac{n π}{l} x

[B].

f (x)

\sim

\sum_{n = 1}^{\infty}

b_{n}

\csc \frac{n π}{l} x

[C].

f (x)

\sim

\sum_{n = 1}^{\infty}

b_{n}

\sin \frac{n π}{l} x

[D].

f (x)

\sim

\sum_{n = 1}^{\infty}

b_{n}

\sin \frac{π}{n} x

答案

$f (x)$ $\sim$ $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin \frac{n π}{l} x$

利用偶延拓计算 $[0, l]$ 上非周期函数的傅里叶系数： $a_{n}$ （B027）

问题

已知函数

f (x)

为

[0, l]

上的非周期函数，并且，其基于偶延拓的傅里叶展开式为：

$f (x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos \frac{n π}{l} x$ .

那么，上述式子中的傅里叶系数 $a_{n}$ $=$ $?$

选项

[A].

a_{n}

=

\frac{2}{l}

\int_{0}^{l}

f (x)

\cos \frac{l π}{n} x

d x

[B].

a_{n}

=

\frac{1}{l}

\int_{0}^{l}

f (x)

\cos \frac{n π}{l} x

d x

[C].

a_{n}

=

\frac{2}{l}

\int_{0}^{l}

f (x)

\sin \frac{n π}{l} x

d x

[D].

a_{n}

=

\frac{2}{l}

\int_{0}^{l}

f (x)

\cos \frac{n π}{l} x

d x

答案

$a_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f (x)$ $\cos \frac{n π}{l} x$ $d x$ , 其中 $($ $n$ $=$ $0$ , $1$ , $2$ , $\dots$ $)$

利用偶延拓计算 $[0, l]$ 上非周期函数的傅里叶展开式（B027）

问题

已知函数

f (x)

为

[0, l]

上的非周期函数，并且，可以利用偶延拓构造出在

[- l, l]

上为偶函数的

G (x)

=

{\begin{cases} f (x), & 0 ⩽ x ⩽ l \\ f (- x), & - l ⩽ x < 0 \end{cases}

则，以下关于函数 $f (x)$ 基于偶延拓的傅里叶展开式，正确的是哪个？

选项

[A].

f (x)

\sim

\frac{a_{0}}{2}

+

\sum_{n = 1}^{\infty}

a_{n}

\sin \frac{n π}{l} x

[B].

f (x)

\sim

\frac{a_{0}}{2}

-

\sum_{n = 1}^{\infty}

a_{n}

\cos \frac{n π}{l} x

[C].

f (x)

\sim

\frac{a_{0}}{2}

+

\sum_{n = 1}^{\infty}

a_{n}

\cos \frac{n π}{l} x

[D].

f (x)

\sim

2 a_{0}

+

\sum_{n = 1}^{\infty}

a_{n}

\cos \frac{n π}{l} x

答案

$f (x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos \frac{n π}{l} x$

利用奇延拓计算 $[0, π]$ 上非周期函数的傅里叶系数： $b_{n}$ （B027）

问题

已知函数

f (x)

为

[0, π]

上的非周期函数，并且，其基于奇延拓的傅里叶展开式为：

$f (x)$ $\sim$ $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin n x$ .

那么，上述式子中的傅里叶系数 $b_{n}$ $=$ $?$

选项

[A].

b_{n}

=

\frac{2}{π}

\int_{0}^{π}

f (x)

\sin n x

d x

[B].

b_{n}

=

\frac{1}{π}

\int_{0}^{π}

f (x)

\sin n x

d x

[C].

b_{n}

=

\frac{2}{π}

\int_{0}^{π}

f (x)

n

\sin x

d x

[D].

b_{n}

=

\frac{2}{π}

\int_{0}^{π}

f (x)

\cos n x

d x

答案

$b_{n}$ $=$ $\frac{2}{π}$ $\int_{0}^{π}$ $f (x)$ $\sin n x$ $d x$ , 其中 $($ $n$ $=$ $1$ , $2$ , $\dots$ $)$ .

利用奇延拓计算 $[0, π]$ 上非周期函数的傅里叶展开式（B027）

问题

已知函数

f (x)

为

[0, π]

上的非周期函数，并且，可以利用奇延拓构造出在

[- π, π]

上为偶函数的

G (x)

=

{\begin{cases} f (x), & 0 ⩽ x ⩽ π \\ - f (- x), & - π ⩽ x < 0 \end{cases}

则，以下关于函数 $f (x)$ 基于奇延拓的傅里叶展开式，正确的是哪个？

选项

[A].

f (x)

\sim

\sum_{n = 1}^{\infty}

b_{n}

\cos n x

[B].

f (x)

\sim

\sum_{n = 1}^{\infty}

b_{n}

\sin n x

[C].

f (x)

\sim

\sum_{n = 1}^{\infty}

b_{n}

\sin x

[D].

f (x)

\sim

\sum_{n = 0}^{\infty}

b_{n}

\sin n x

答案

$f (x)$ $\sim$ $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin n x$

利用偶延拓计算 $[0, π]$ 上非周期函数的傅里叶系数： $a_{n}$ （B027）

问题

已知函数

f (x)

为

[0, π]

上的非周期函数，并且，其基于偶延拓的傅里叶展开式为：

$f (x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos n x$ .

那么，上述式子中的傅里叶系数 $a_{n}$ $=$ $?$

选项

[A].

a_{n}

=

\frac{1}{π}

\int_{0}^{π}

f (x)

\cos n x

d x

[B].

a_{n}

=

\frac{2}{π}

\int_{0}^{π}

f (x)

\sin n x

d x

[C].

a_{n}

=

\frac{2}{π}

\int_{0}^{π}

f (x)

\cos n x

d x

[D].

a_{n}

=

\frac{2}{π}

\int_{0}^{π}

f (x)

\cos x

d x

答案

$a_{n}$ $=$ $\frac{2}{π}$ $\int_{0}^{π}$ $f (x)$ $\cos n x$ $d x$ , 其中 $($ $n$ $=$ $0$ , $1$ , $2$ , $\dots$ $)$

利用偶延拓计算 $[0, π]$ 上非周期函数的傅里叶展开式（B027）

问题

已知函数

f (x)

为

[0, π]

上的非周期函数，并且，可以利用偶延拓构造出在

[- π, π]

上为偶函数的

G (x)

=

{\begin{cases} f (x), & 0 ⩽ x ⩽ π \\ f (- x), & - π ⩽ x < 0 \end{cases}

则，以下关于函数 $f (x)$ 基于偶延拓的傅里叶展开式，正确的是哪个？

选项

[A].

f (x)

\sim

\frac{a_{0}}{2}

-

\sum_{n = 1}^{\infty}

a_{n}

\cos n x

[B].

f (x)

\sim

2 a_{0}

+

\sum_{n = 1}^{\infty}

a_{n}

\cos n x

[C].

f (x)

\sim

\frac{a_{0}}{2}

+

\sum_{n = 1}^{\infty}

a_{n}

\sin n x

[D].

f (x)

\sim

\frac{a_{0}}{2}

+

\sum_{n = 1}^{\infty}

a_{n}

\cos n x

答案

$f (x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos n x$

周期为 $2 l$ 的奇函数的傅里叶系数： $b_{n}$ （B027）

问题

已知函数

f (x)

是以

2 l

为周期的奇函数，并且其傅里叶展开式为：

$f (x)$ $\sim$ $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin \frac{n π}{l} x$ .

那么，上述式子中的傅里叶系数 $b_{n}$ $=$ $?$

选项

[A].

b_{n}

=

\frac{2}{l}

\int_{0}^{l}

f (x)

\sin \frac{2 π}{l} x

d x

[B].

b_{n}

=

\frac{2}{l}

\int_{0}^{l}

f (x)

\cos \frac{n π}{l} x

d x

[C].

b_{n}

=

\frac{1}{l}

\int_{0}^{l}

f (x)

\sin \frac{n π}{l} x

d x

[D].

b_{n}

=

\frac{2}{l}

\int_{0}^{l}

f (x)

\sin \frac{n π}{l} x

d x

答案

$a_{n}$ $=$ $0$ , 其中 $($ $n$ $=$ $0$ , $1$ , $2$ , $\dots$ $)$

$b_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f (x)$ $\sin \frac{n π}{l} x$ $d x$ , 其中 $($ $n$ $=$ $1$ , $2$ , $\dots$ $)$ .

周期为 $2 l$ 的奇函数的傅里叶展开式（B027）

问题

已知函数

f (x)

是以

2 l

为周期的周期函数，并且

f (x)

还是一个奇函数：

f (x)

=

- f (- x)

则，以下关于该函数的傅里叶展开式，正确的是哪个？

选项

[A].

f (x)

\sim

\sum_{n = 1}^{\infty}

b_{n}

\sin \frac{π}{l} x

[B].

f (x)

\sim

\sum_{n = 1}^{\infty}

b_{n}

\cos \frac{n π}{l} x

[C].

f (x)

\sim

\sum_{n = 1}^{\infty}

b_{n}

\sin \frac{n π}{l} x

[D].

f (x)

\sim

\sum_{n = 0}^{\infty}

b_{n}

\sin \frac{n π}{l} x

答案

$f (x)$ $\sim$ $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin \frac{n π}{l} x$

周期为 $2 l$ 的偶函数的傅里叶系数： $a_{n}$ （B027）

问题

已知函数

f (x)

是以

2 l

为周期的偶函数，并且其傅里叶展开式为：

$f (x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos$ $\frac{n π}{l} x$ .

那么，上述式子中的傅里叶系数 $a_{n}$ $=$ $?$

选项

[A].

a_{n}

=

\frac{2}{l}

\int_{1}^{l}

f (x)

\cos \frac{n π}{l} x

d x

[B].

a_{n}

=

\frac{1}{l}

\int_{0}^{l}

f (x)

\cos \frac{n π}{l} x

d x

[C].

a_{n}

=

\frac{2}{l}

\int_{0}^{l}

f (x)

\cos \frac{n π}{l} x

d x

[D].

a_{n}

=

\frac{2}{l}

\int_{0}^{l}

f (x)

\sin \frac{n π}{l} x

d x

答案

$a_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f (x)$ $\cos \frac{n π}{l} x$ $d x$ , 其中 $($ $n$ $=$ $0$ , $1$ , $2$ , $\dots$ $)$

$b_{n}$ $=$ $0$ , 其中 $($ $n$ $=$ $1$ , $2$ , $\dots$ $)$

周期为 $2 l$ 的偶函数的傅里叶展开式（B027）

问题

已知函数

f (x)

是以

2 l

为周期的周期函数，并且

f (x)

还是一个偶函数：

f (x)

=

f (- x)

则，以下关于该函数的傅里叶展开式，正确的是哪个？

选项

[A].

f (x)

\sim

\frac{a_{0}}{2}

+

\sum_{n = 1}^{\infty}

a_{n}

\cos

\frac{π}{l} x

[B].

f (x)

\sim

2 a_{0}

+

\sum_{n = 1}^{\infty}

a_{n}

\cos

\frac{n π}{l} x

[C].

f (x)

\sim

\frac{a_{0}}{2}

+

\sum_{n = 0}^{\infty}

a_{n}

\cos

\frac{n π}{l} x

[D].

f (x)

\sim

\frac{a_{0}}{2}

+

\sum_{n = 1}^{\infty}

a_{n}

\cos

\frac{n π}{l} x

答案

$f (x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos$ $\frac{n π}{l} x$

周期为 $2 π$ 的奇函数的傅里叶系数： $b_{n}$ （B027）

问题

已知函数

f (x)

是以

2 π

为周期的奇函数，并且其傅里叶展开式为：

$f (x)$ $\sim$ $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin n x$ .

那么，上述式子中的傅里叶系数 $b_{n}$ $=$ $?$

选项

[A].

b_{n}

=

\frac{1}{π}

\int_{0}^{π}

f (x)

\sin n x

d x

[B].

b_{n}

=

\frac{2}{π}

\int_{0}^{π}

f (x)

\sin n x

d x

[C].

b_{n}

=

2 π

\int_{0}^{π}

f (x)

\sin n x

d x

[D].

b_{n}

=

\frac{2}{π}

\int_{0}^{π}

f (x)

\cos n x

d x

答案

$a_{n}$ $=$ $0$ , 其中 $($ $n$ $=$ $0$ , $1$ , $2$ , $\dots$ $)$

$b_{n}$ $=$ $\frac{2}{π}$ $\int_{0}^{π}$ $f (x)$ $\sin n x$ $d x$ , 其中 $($ $n$ $=$ $1$ , $2$ , $\dots$ $)$

周期为 $2 π$ 的奇函数的傅里叶展开式（B027）

问题

已知函数

f (x)

是以

2 π

为周期的周期函数，并且

f (x)

还是一个奇函数：

f (x)

=

- f (- x)

则，以下关于该函数的傅里叶展开式，正确的是哪个？

选项

[A].

f (x)

\sim

\sum_{n = 1}^{\infty}

b_{n}

\sin x

[B].

f (x)

\sim

\sum_{n = 1}^{\infty}

b_{n}

\cos n x

[C].

f (x)

\sim

\sum_{n = 1}^{\infty}

b_{n}

\sin n x

[D].

f (x)

\sim

\sum_{n = 1}^{\infty}

\frac{1}{b_{n}}

\sin n x

答案

$f (x)$ $\sim$ $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin n x$

周期为 $2 π$ 的偶函数的傅里叶系数： $a_{n}$ （B027）

问题

已知函数

f (x)

是以

2 π

为周期的偶函数，并且其傅里叶展开式为：

$f (x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos n x$ .

那么，上述式子中的傅里叶系数 $a_{n}$ $=$ $?$

选项

[A].

a_{n}

=

\frac{2}{π}

\int_{0}^{2 π}

f (x)

\cos n x

d x

[B].

a_{n}

=

\frac{2}{π}

\int_{0}^{π}

f (x)

\sin n x

d x

[C].

a_{n}

=

\frac{1}{π}

\int_{0}^{π}

f (x)

\cos n x

d x

[D].

a_{n}

=

\frac{2}{π}

\int_{0}^{π}

f (x)

\cos n x

d x

答案

$a_{n}$ $=$ $\frac{2}{π}$ $\int_{0}^{π}$ $f (x)$ $\cos n x$ $d x$ , 其中 $($ $n$ $=$ $0$ , $1$ , $2$ , $\dots$ $)$

$b_{n}$ $=$ $0$ , 其中 $($ $n$ $=$ $1$ , $2$ , $\dots$ $)$

周期为 $2 π$ 的偶函数的傅里叶展开式（B027）

问题

已知函数

f (x)

是以

2 π

为周期的周期函数，并且

f (x)

还是一个偶函数：

f (x)

=

f (- x)

则，以下关于该函数的傅里叶展开式，正确的是哪个？

选项

[A].

f (x)

\sim

\frac{a_{0}}{2}

+

\sum_{n = 1}^{\infty}

a_{n}

\sin n x

[B].

f (x)

\sim

\frac{a_{0}}{2}

+

\sum_{n = 0}^{\infty}

a_{n}

\cos n x

[C].

f (x)

\sim

\frac{2}{a_{0}}

+

\sum_{n = 1}^{\infty}

a_{n}

\cos n x

[D].

f (x)

\sim

\frac{a_{0}}{2}

+

\sum_{n = 1}^{\infty}

a_{n}

\cos n x

答案

$f (x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos n x$