高等数学基础归档 - 第17页共54页

周期为 $2 l$ 的一般函数的傅里叶展开式（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2 l$ 为周期的周期函数，在区间 $[-l, l]$ 上可积。并且，函数 $f(x)$ 能通过展开成三角级数的形式进行傅里叶展开，则以下关于该函数的傅里叶展开式，正确的是哪个？

选项

[A]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $-$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $+$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $)$

[B]. $f(x)$ $\sim$ $2$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $+$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $)$

[C]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $+$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $)$

[D]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $+$ $b_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $)$

答案

$f(x)$ $\sim$

$\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $+$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $)$

周期为 $2 \pi$ 的一般函数的傅里叶系数：$b_{n}$（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的周期函数，且其傅里叶展开式为：

$f(x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos n x$ $+$ $b_{n}$ $\sin n x$ $)$.

那么，上述式子中的傅里叶系数之一 $b_{n}$ $=$ $?$

选项

[A]. $b_{n}$ $=$ $\frac{1}{\pi}$ $\int_{-\pi}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin x$ $\mathrm{~d} x$

[B]. $b_{n}$ $=$ $\frac{1}{\pi}$ $\int_{-\pi}^{\pi}$ $f(x)$ $\cos n x$ $\mathrm{~d} x$

[C]. $b_{n}$ $=$ $\frac{1}{\pi}$ $\int_{-\pi}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin n x$ $\mathrm{~d} x$

[D]. $b_{n}$ $=$ $\pi$ $\int_{-\pi}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin n x$ $\mathrm{~d} x$

答案

$b_{n}$ $=$ $\frac{1}{\pi}$ $\int_{-\pi}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin n x$ $\mathrm{~d} x$.

其中，$n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$

周期为 $2 \pi$ 的一般函数的傅里叶系数：$a_{n}$（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的周期函数，且其傅里叶展开式为：

$f(x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos n x$ $+$ $b_{n}$ $\sin n x$ $)$.

那么，上述式子中的傅里叶系数之一 $a_{n}$ $=$ $?$

选项

[A]. $a_{n}$ $=$ $\frac{1}{\pi}$ $\int_{-\pi}^{\pi}$ $f(x)$ $\cos n x$ $\mathrm{~d} x$

[B]. $a_{n}$ $=$ $\frac{1}{\pi}$ $\int_{-\pi}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin n x$ $\mathrm{~d} x$

[C]. $a_{n}$ $=$ $\frac{1}{\pi}$ $\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ $f(x)$ $\cos n x$ $\mathrm{~d} x$

[D]. $a_{n}$ $=$ $\pi$ $\int_{-\pi}^{\pi}$ $f(x)$ $\cos n x$ $\mathrm{~d} x$

答案

$a_{n}$ $=$ $\frac{1}{\pi}$ $\int_{-\pi}^{\pi}$ $f(x)$ $\cos n x$ $\mathrm{~d} x$.

其中，$n$ $=$ $0$, $1$, $2$, $\cdots$

周期为 $2 \pi$ 的一般函数的傅里叶展开式（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的周期函数，并且，函数 $f(x)$ 能通过展开成三角级数的形式进行傅里叶展开，则以下关于该函数的傅里叶展开式，正确的是哪个？

选项

[A]. $f(x)$ $\sim$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $\frac{a_{n}}{2}$ $\cos n x$ $+$ $\frac{b_{n}}{2}$ $\sin n x$ $)$

[B]. $f(x)$ $\sim$ $2$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos n x$ $+$ $b_{n}$ $\sin n x$ $)$

[C]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $-$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos n x$ $+$ $b_{n}$ $\sin n x$ $)$

[D]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos n x$ $+$ $b_{n}$ $\sin n x$ $)$

答案

$f(x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos n x$ $+$ $b_{n}$ $\sin n x$ $)$

函数 $(1+x)^{a}$ 的幂级数展开式（B026）

问题

以下关于函数 $(1+x)^{a}$ 的幂级数展开式的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $(1+x)^{a}$ $=$ $1$ $-$ $a x$ $-$ $\frac{a(a-1)}{2 !}$ $x^{2}$ $-$ $\cdots$ $-$ $\frac{a(a-1) \cdots(a-n+1)}{n !}$ $x^{n}$ $+$ $\cdots$

[B]. $(1+x)^{a}$ $=$ $x$ $+$ $a x$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2 !}$ $x^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{a(a-1) \cdots(a-n+1)}{n !}$ $x^{n}$ $+$ $\cdots$

[C]. $(1+x)^{a}$ $=$ $1$ $+$ $a x$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2 !}$ $x^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{a(a-1) \cdots(a-n+1)}{n !}$ $x^{n}$ $+$ $\cdots$

[D]. $(1+x)^{a}$ $=$ $1$ $+$ $a x$ $x^{2}$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2 !}$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{a(a-1) \cdots(a-n+1)}{n !}$ $x^{n+1}$ $+$ $\cdots$

答案

$(1+x)^{a}$ $=$

$1$ $+$ $a x$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2 !}$ $x^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n !}$ $x^{n}$ $+$ $\cdots$ $=$

$\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n !}$ $x^{n}$.

其中，$x$ $\in$ $(-1,1)$

函数 $\ln (1+x)$ 的幂级数展开式（B026）

问题

以下关于函数 $\ln (1+x)$ 的幂级数展开式的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\ln (1+x)$ $=$ $x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ $+$ $\cdots$

[B]. $\ln (1+x)$ $=$ $1$ $-$ $\frac{x}{2}$ $+$ $\frac{x^{2}}{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{n}}{n+1}$ $+$ $\cdots$

[C]. $\ln (1+x)$ $=$ $x$ $+$ $\frac{x^{2}}{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(1)^{n}$ $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ $+$ $\cdots$

[D]. $\ln (1+x)$ $=$ $1$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ $+$ $\cdots$

答案

$\ln (1+x)$ $=$

$x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ $+$ $\cdots$ $=$

$\sum_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{n+1}}{n+1}$.

其中，$x$ $\in$ $(-1,1]$

函数 $\cos x$ 的幂级数展开式（B026）

问题

以下关于函数 $\cos x$ 的幂级数展开式的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\cos x$ $=$ $1$ $-$ $\frac{x}{2 !}$ $+$ $\frac{x^{2}}{4 !}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{n}}{(2 n) !}$ $+$ $\cdots$

[B]. $\cos x$ $=$ $1$ $+$ $\frac{x^{2}}{2 !}$ $-$ $\frac{x^{4}}{4 !}$ $+$ $\cdots$ $-$ $(-1)^{n+1}$ $\frac{x^{2 n}}{(2 n) !}$ $+$ $\cdots$

[C]. $\cos x$ $=$ $x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2 !}$ $+$ $\frac{x^{4}}{4 !}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{2 n}}{(2 n) !}$ $+$ $\cdots$

[D]. $\cos x$ $=$ $1$ $-$ $\frac{x^{2}}{2 !}$ $+$ $\frac{x^{4}}{4 !}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{2 n}}{(2 n) !}$ $+$ $\cdots$

答案

$\cos x$ $=$

$1$ $-$ $\frac{x^{2}}{2 !}$ $+$ $\frac{x^{4}}{4 !}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{2 n}}{(2 n) !}$ $+$ $\cdots$ $=$

$\sum_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{2 n}}{(2 n) !}$.

其中，$x$ $\in$ $(-\infty,+\infty)$

函数 $\sin x$ 的幂级数展开式（B026）

问题

以下关于函数 $\sin x$ 的幂级数展开式的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\sin x$ $=$ $x$ $+$ $\frac{x^{3}}{3 !}$ $-$ $\cdots$ $-$ $(-1)^{n+1}$ $\frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}$ $+$ $\cdots$

[B]. $\sin x$ $=$ $1$ $-$ $\frac{x^{3}}{3 !}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}$ $+$ $\cdots$

[C]. $\sin x$ $=$ $x$ $-$ $\frac{x^{3}}{3 !}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}$ $+$ $\cdots$

[D]. $\sin x$ $=$ $x$ $-$ $\frac{x^{3}}{3 !}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{2 n}}{(2 n) !}$ $+$ $\cdots$

答案

$\sin x$ $=$

$x$ $-$ $\frac{x^{3}}{3 !}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}$ $+$ $\cdots$ $=$

$\sum_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}$.

其中，$x$ $\in$ $(-\infty,+\infty)$

函数 $\mathrm{e}^{x}$ 的幂级数展开式（B026）

问题

以下关于函数 $\mathrm{e}^{x}$ 的幂级数展开式的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\mathrm{e}^{x}$ $=$ $1$ $+$ $2x$ $+$ $\frac{x^{2}}{3 !}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{x^{n}}{(n+1) !}$ $+$ $\cdots$

[B]. $\mathrm{e}^{x}$ $=$ $x$ $+$ $x^{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{2 !}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{x^{n+1}}{n !}$ $+$ $\cdots$

[C]. $\mathrm{e}^{x}$ $=$ $0$ $+$ $x$ $+$ $\frac{x^{2}}{2 !}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{x^{n}}{n !}$ $+$ $\cdots$

[D]. $\mathrm{e}^{x}$ $=$ $1$ $+$ $x$ $+$ $\frac{x^{2}}{2 !}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{x^{n}}{n !}$ $+$ $\cdots$

答案

$\mathrm{e}^{x}$ $=$

$1$ $+$ $x$ $+$ $\frac{x^{2}}{2 !}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{x^{n}}{n !}$ $+$ $\cdots$ $=$

$\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{x^{n}}{n !}$.

其中 $x$ $\in$ $(-\infty, +\infty)$

函数 $\frac{1}{1+x}$ 的幂级数展开式（B026）

问题

以下关于函数 $\frac{1}{1+x}$ 的幂级数展开式的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\frac{1}{1+x}$ $=$ $1$ $+$ $x$ $+$ $x^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $x^{n}$ $+$ $\cdots$

[B]. $\frac{1}{1+x}$ $=$ $1$ $-$ $x$ $+$ $x^{2}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $x^{n}$ $+$ $\cdots$

[C]. $\frac{1}{1+x}$ $=$ $1$ $+$ $x$ $-$ $x^{2}$ $+$ $\cdots$ $-$ $(-1)^{n+1}$ $x^{n}$ $-$ $\cdots$

[D]. $\frac{1}{1+x}$ $=$ $0$ $-$ $x$ $+$ $x^{2}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $x^{n}$ $+$ $\cdots$

答案

$\frac{1}{1+x}$ $=$

$1$ $-$ $x$ $+$ $x^{2}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $x^{n}$ $+$ $\cdots$ $=$

$\sum_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $x^{n}$, $x$ $\in$ $(-1,1)$

函数 $\frac{1}{1-x}$ 的幂级数展开式（B026）

问题

以下关于函数 $\frac{1}{1-x}$ 的幂级数展开式的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $0$ $+$ $x$ $+$ $x^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $x^{n}$ $+$ $\cdots$

[B]. $1$ $+$ $x$ $+$ $x^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $x^{n-1}$ $+$ $\cdots$

[C]. $1$ $+$ $x$ $+$ $x^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $x^{n+1}$ $+$ $\cdots$

[D]. $1$ $+$ $x$ $+$ $x^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $x^{n}$ $+$ $\cdots$

答案

$\frac{1}{1-x}$ $=$ $1$ $+$ $x$ $+$ $x^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $x^{n}$ $+$ $\cdots$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $x^{n}$, $x$ $\in$ $(-1,1)$.

函数的幂级数展开：麦克劳林级数（B026）

问题

当 $x_{0}$ $=$ $0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $x$ $=$ $x_{0}$ 处的泰勒级数就被成为麦克劳林级数，则，以下关于麦克劳林级数的展开式，正确的是哪个？

选项

[A]. $f^{\prime}(0)$ $x$ $+$ $\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !}$ $x^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{f^{(n)}(0)}{n !}$ $x^{n}$ $+$ $\cdots$

[B]. $f(0)$ $+$ $f^{\prime}(0)$ $x$ $+$ $\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !}$ $x^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{f^{(n)}(0)}{n !}$ $x^{n}$ $+$ $\cdots$

[C]. $f(0)$ $+$ $f^{\prime}(0)$ $x$ $+$ $\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !}$ $x^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{f^{(n+1)}(0)}{(n+1) !}$ $x^{n+1}$ $+$ $\cdots$

[D]. $1$ $+$ $f^{\prime}(0)$ $x$ $+$ $\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !}$ $x^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{f^{(n)}(0)}{n !}$ $x^{n}$ $+$ $\cdots$

答案

$\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n}$ $=$ $f(0)$ $+$ $f^{\prime}(0)$ $x$ $+$ $\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !}$ $x^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{f^{(n)}(0)}{n !}$ $x^{n}$ $+$ $\cdots$

函数的幂级数展开：泰勒级数（B026）

问题

已知，函数 $f(x)$ 在 $x$ $=$ $x_{0}$ 的某一邻域内具有任意阶导数，则，以下哪个选项是函数 $f(x)$ 在 $x$ $=$ $x_{0}$ 处的泰勒级数？

选项

[A]. $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}$ $\left(x-x_{0}\right)^{n}$

[B]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}$ $\left(x-x_{0}\right)^{n}$

[C]. $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}$ $\left(x-x_{0}\right)^{n-1}$

[D]. $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}$ $\left(x+x_{0}\right)^{n}$

答案

$\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}$ $\left(x-x_{0}\right)^{n}$ $=$

$f\left(x_{0}\right)$ $+$ $f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ $\left(x-x_{0}\right)$ $+$ $\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}$ $\left(x-x_{0}\right)^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}$ $\left(x-x_{0}\right)^{n}$ $+$ $\cdots$

幂级数的逐项求导公式（B026）

问题

已知幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $x^{n}$ 的和其函数 $f(x)$ 在其收敛区间 $(-R, R)$ 内可导，则，根据逐项求导公式，$f^{\prime}(x)$ $=$ $?$

选项

[A]. $f^{\prime}(x)$ $=$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $n$ $a_{n}$ $x^{n+1}$

[B]. $f^{\prime}(x)$ $=$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $(n-1)$ $a_{n}$ $x^{n-1}$

[C]. $f^{\prime}(x)$ $=$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $n$ $a_{n}$ $x^{n}$

[D]. $f^{\prime}(x)$ $=$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $n$ $a_{n}$ $x^{n-1}$

答案

$f^{\prime}(x)$ $=$

$\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}\right)^{\prime}$ $=$

$\sum_{n=0}^{\infty}$ $\left(a_{n} x^{n}\right)^{\prime}$ $=$

$\sum_{n=1}^{\infty}$ $n$ $a_{n}$ $x^{n-1}$.

幂级数的逐项积分公式（B026）

问题

已知，幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $x^{n}$ 和函数 $f(x)$ 在其收敛域 $I$ 上可积，则，根据逐项积分公式，$\int_{0}^{x}$ $f(t)$ $\mathrm{d} t$ $=$ $?$

选项

[A]. $\int_{0}^{x}$ $f(t)$ $\mathrm{d} t$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{a_{n}}{n} x^{n}$

[B]. $\int_{0}^{x}$ $f(t)$ $\mathrm{d} t$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{a_{n}}{n} x^{n+1}$

[C]. $\int_{0}^{x}$ $f(t)$ $\mathrm{d} t$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{a_{n}}{n+1} x^{n}$

[D]. $\int_{0}^{x}$ $f(t)$ $\mathrm{d} t$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{a_{n}}{n+1} x^{n+1}$

答案

$\int_{0}^{x}$ $f(t)$ $\mathrm{d} t$ $=$

$\int_{0}^{x}$ $\big($ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $x^{n}$ $\big)$ $\mathrm{d} x$ $=$

$\sum_{n=0}^{\infty}$ $\big($ $\int_{0}^{x}$ $a_{n}$ $x^{n}$ $\mathrm{~d} x$ $\big)$ $=$

$\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{a_{n}}{n+1} x^{n+1}$