考研数学常用的泰勒公式（麦克劳林公式）汇总

一、前言

泰勒公式有很多用处，例如求解函数的 $n$ 阶导。如果大家想要掌握泰勒展开式的整体计算公式，可以查阅「荒原之梦考研数学」的《用逐步简化的方法记忆泰勒公式》这篇文章。在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们提供考研数学中常见的一些在 $x_0$ $=$ $0$ 处的泰勒展开式，或者说常见的麦克劳林公式。

二、正文

$$\begin{array}{rl}\begin{array}{ll}{\mathit{e}}^{\mathit{x}}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{x}^n\\ \\ & =1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots \end{array}\}& x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })\\ \\ \\ \begin{array}{ll}\mathbf{sin}\mathbf{}\mathit{x}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}\\ \\ & =x-\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{5!}{x}^5+\cdots \end{array}\}& x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })\\ \\ \\ \begin{array}{ll}\mathbf{cos}\mathbf{}\mathit{x}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}\\ \\ & =1-\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^4+\cdots \end{array}\}& x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })\\ \\ \\ \begin{array}{ll}\mathbf{ln}\mathbf{}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{+}\mathit{x}\mathbf{)}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n+1}{x}^{n+1}\\ \\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{x}^n\\ \\ & =x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3+\cdots \end{array}\}& x\in (-1,1]\\ \\ \\ \begin{array}{ll}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1}\mathbf{-}\mathit{x}}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n\\ \\ & =1+x+x^2+x^3+\cdots \end{array}\}& x\in (-1,1)\\ \\ \\ \begin{array}{ll}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1}\mathbf{+}\mathit{x}}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{x}^n\\ & =1-x+x^2-x^3+\cdots \end{array}\}& x\in (-1,1)\\ \\ \\ \begin{array}{ll}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{+}\mathit{x}{\mathbf{)}}^{\mathit{\alpha }}& =1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}{x}^n\\ \\ & =1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\cdots \end{array}\}& x\in (-1,1)\end{array}$$

附：考研数学中不常用的泰勒公式：

⟬1⟭ 当 $x$ $\in$ $[-1,1]$ 时，有：

$$\begin{array}{rl}\mathbf{arctan}\mathbf{}\mathit{x}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1}\\ \\ & =x-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{5}{x}^5+\cdots \end{array}$$

⟬2⟭ 当 $x$ $\in$ $(-1,1)$ 时，有：

$$\begin{array}{rl}\mathbf{arcsin}\mathbf{}\mathit{x}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}\\ \\ & =x+\frac{1}{6}{x}^3+\frac{3}{40}{x}^5+\frac{5}{112}{x}^7+\frac{35}{1152}{x}^9+\cdots \end{array}$$

⟬3⟭ 当 $x$ $\in$ $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ 时，有：

$$\begin{array}{rl}\mathbf{tan}\mathbf{}\mathit{x}& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}(-4{)}^n(1-4^n)}{(2n)!}{x}^{2n-1}\\ \\ & =x+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{15}{x}^5+\frac{17}{315}{x}^7+\frac{62}{2835}{x}^9+\frac{1382}{155925}{x}^{11}+\\ & \frac{21844}{6081075}{x}^{13}+\frac{929569}{638512875}{x}^{15}+\cdots \end{array}$$

Note

上式中的 “$B_{2n}$” 对应于伯努利数 $B_n$, 伯努利数是数论中的一个重要的有理数序列，前 $4$ 个伯努利数依次为：
$B_0$ $=$ $1$, $B_1$ $=$ $-\frac{1}{2}$, $B_2$ $=$ $\frac{1}{6}$, $B_3$ $=$ $0$, $B_4$ $=$ $-\frac{1}{30}$

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