标签： 考研数学三

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将借助“向量”这一工具，研究不同敛散性的两个数列相加或者相减之后所得数列的敛散性. 通过本文中基于向量对这一问题所进行的研究可以非常直观的看到加减运算对数列敛散性所产生的影响，并且可以根据三角形和平行四边形的几何特性对这些结论进行进一步的凝练总结.

继续阅读“借助向量工具研究数列加减运算之后的敛散性”

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{4x^{2} + x – 1} + x + 1}{\sqrt{x^{2} + \sin x}} = ?
$$

继续阅读“提取公因式的时候别被根号迷惑了”

一、题目

已知 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6x + x f(x)}{x^{3}} = 0$, 则 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{6 + f(x)}{x^{2}} = ?$

继续阅读“借助极限与无穷小的关系求解极限”

一、题目

已知 $a_{n} = \left(1 + \frac{1}{n} \right) \sin \frac{n \pi}{2}$, 请证明数列 ${ a_{n} }$ 没有极限（发散）.

继续阅读“要使含有三角函数的数列的子列存在极限，则步长需要是三角函数周期的整数倍”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们总结和扩展一下常见级数的敛散性。

继续阅读“常见级数的敛散性（扩展版）”

一、题目

已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_{n} = 2$, $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2n-1} = 5$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} = ?$

继续阅读“一种展示数列变化并进行计算的图形绘制方法”

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的《田字格分段函数融合法》这篇文章中，我们初步掌握了基于“田字格”这一工具确定涉及分段函数的计算时应该分几段考虑的问题。

在本文中，我将继续拓展“田字格”这一工具，在自变量含有绝对值运算的题目中，给同学们讲解一下如何使用“田字格”确定应该分几段计算含有分段函数的相关问题。

继续阅读“峰式田字格：确定变量含有绝对值的分段函数的复合运算要分几段计算”

一、题目

$$
\begin{aligned}
I_{1} & = \lim_{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1 + \frac{1}{n} \right)^{2} \left(1 + \frac{2}{n} \right)^{2} \cdots \left(1 + \frac{n}{n} \right)^{2}} \\ \\
I_{2} & = \lim_{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1 + \frac{1}{n} \right)^{2} \left(1 + \frac{2}{n} \right)^{2} \cdots \left(1 + \frac{n}{n} \right)^{2} \cdots \textcolor{orange}{ \left(1 + \frac{2n}{n} \right)^{2} } } \\ \\
\end{aligned}
$$

继续阅读“用定积分的定义计算数列和时怎么确定积分上下限？”

一、题目

继续阅读“定积分比大小的时候，一定要关注积分上下限的相对大小”

一、题目

继续阅读“你知道“一阶导等于零的点一定是驻点”这句话隐含了什么条件吗？”

一、前言

罗尔定理是高等数学和考研数学中一个基础且重要的定理，「荒原之梦考研数学」也使用一种非常直观的方式证明了罗尔定理。但是，我们在做题的时候就会发现，仅仅使用传统意义上的罗尔定理，有时候并不能非常好的完成解题，也就是说，罗尔定理需要“进化”。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过在无穷意义上对罗尔定理的扩展，为同学们提供另一个解题视角。

继续阅读“在无穷意义上扩展的罗尔定理及其证明和应用”

一、前言

本文要阐述的是一个非常直观的结论，那就是“沿着直角坐标系中 $X$ 轴或者 $Y$ 轴方向上的平移变换，并不会改变驻点在函数中的绝对位置”。

这一结论成立的原因在于，只要我们不对直线做旋转操作，只是沿着水平或者垂直方向上对水平直线的移动并不会导致水平直线变得不水平（水平直线在平面上的斜向运动可以拆分为水平方向与垂直方向上的运动）。

二、正文

接下来，「荒原之梦考研数学」将通过一个直观的示意图，解释清楚“平移变换不会改变函数中一个点是不是驻点”这一性质：

如图 01 所示，蓝色曲线是函数 $\textcolor{#6D9EEB}{\mathrm{Z} (x) }$ $=$ $- \left( x+2 \right)^{2} – 1$ 的函数图象，绿色曲线是函数 $\textcolor{#6AA84F}{\mathrm{K} (x)}$ $=$ $- x^{2} + 2$ 的函数图象，橙色曲线是函数 $\textcolor{#E69138}{\mathrm{F} (x)}$ $=$ $- \left( x-2 \right)^{2} + 3$ 的函数图象，且 $\mathrm{Z}(a_{2}) = \mathrm{Z}(b_{2})$, $\mathrm{K}(a_{0}) = \mathrm{K}(b_{0})$, $\mathrm{F}(a_{1}) = \mathrm{F}(b_{1})$:

可以看到，无论是将函数 $\mathrm{Z}(x)$ 沿着坐标系的 $X$ 轴和 $Y$ 轴方向平移到函数 $\mathrm{K}(x)$ 的位置，还是将函数 $\mathrm{F}(x)$ 沿着坐标系的 $X$ 轴和 $Y$ 轴方向平移到函数 $\mathrm{K}(x)$ 的位置，都不会改变驻点 $c_{2}$ 或 $c_{1}$ 在函数中的绝对位置。

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一、前言

罗尔定理是微分学中的一个非常重要的定理，也是引出拉格朗日中值定理和柯西中值定理的基础。但是，对罗尔定理的传统证明方法并不能非常直观的反映出罗尔定理的性质（不过，本文中仍然会给出基于传统数学方法的罗尔定理证明），所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用一种原创的方式，通过一个非常自然的过程，证明罗尔定理，因为我相信——

只 要 是 正 确 的 数 学 定 理 ，都 具 有 不 证 自 明 的 性 质 ，只 是 需 要 我 们 更 换 一 下 观 察 和 思 考 的 角 度 。

继续阅读“罗尔定理的本质：基于圆形的几何逻辑证明罗尔定理”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过汽车在公路上行驶时的加速和减速过程，来帮助同学们理解函数在一点处的可导性，或者说函数在一点处导数的存在性。

继续阅读“用汽车的加速度理解导数的存在性（一点处的可导性）”

一、题目

继续阅读“微分中的一个定理：$ds=1$”