取对数的好处：将底数上的变量移动到指数上

一、前言

有些时候，当式子的底数和指数都含有变量的时候，就会难以直接进行求导运算. 此时，我们就可以先对原式取对数. 在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过例题为同学们讲解对数的这一使用方式.

二、正文

§2.1 题目

§2.2 解法 1：$\mathrm{e}$ 抬起

首先，根据 $\mathrm{e}$ 抬起的计算公式可知：

$$
x^{x} = \mathrm{e}^{\ln x^{x}} = \mathrm{e}^{x \ln x}
$$

于是可知：

$$
y = \mathrm{e}^{x \ln x}
$$

接着，根据复合函数的求导公式，得：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{lightgreen}{ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} } = \mathrm{e}^{x \ln x} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(x \ln x) & = \mathrm{e}^{x \ln x} (\ln x + 1) \\ \\
& = \textcolor{lightgreen}{ x^{x} (\ln x + 1) }, \ x > 0
\end{aligned}
$$

§2.3 解法 2：直接取对数

首先，在原函数 $y = x^{x}$ 等号两端直接取对数，得：

$$
\ln y = \ln x^{x} = x \ln x
$$

接着，对上面的式子求导，得：

$$
\begin{aligned}
& \frac{1}{y} \cdot y ^{\prime} = \ln x + 1 \\ \\
\leadsto \ & y ^{\prime} = y \left( \ln x + 1 \right) \\ \\
\leadsto \ & \textcolor{lightgreen}{y ^{\prime} = x^{x} \left( \ln x + 1 \right)}, \ x > 0
\end{aligned}
$$

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