线性代数基础归档 - 第16页共20页

矩阵的乘法运算（C008）

问题

已知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0\\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}$, 矩阵 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\begin{bmatrix} 3 & 1\\ 0 & -1\\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.

则，$\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ $=$ $\begin{bmatrix} 4 & 1\\ -1 & 1\\ 1 & 3 \end{bmatrix}$

[B]. $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ $=$ $\begin{bmatrix} 4 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

[C]. $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ $=$ $\begin{bmatrix} 3 & 2\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

[D]. $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ $=$ $\begin{bmatrix} 4 & 2\\ 7 & 5 \end{bmatrix}$

答案

$\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ $=$ $\begin{bmatrix} 3 & 2\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

$3$ $=$ $1$ $\textcolor{orange}{\times}$ $3$ $\textcolor{cyan}{+}$ $(-1)$ $\textcolor{orange}{\times}$ $0$ $\textcolor{cyan}{+}$ $0$ $\textcolor{orange}{\times}$ $1$
$2$ $=$ $1$ $\textcolor{orange}{\times}$ $1$ $\textcolor{cyan}{+}$ $(-1)$ $\textcolor{orange}{\times}$ $(-1)$ $\textcolor{cyan}{+}$ $0$ $\textcolor{orange}{\times}$ $2$
$1$ $=$ $0$ $\textcolor{orange}{\times}$ $3$ $\textcolor{cyan}{+}$ $2$ $\textcolor{orange}{\times}$ $0$ $\textcolor{cyan}{+}$ $1$ $\textcolor{orange}{\times}$ $1$
$0$ $=$ $0$ $\textcolor{orange}{\times}$ $1$ $\textcolor{cyan}{+}$ $(-1)$ $\textcolor{orange}{\times}$ $2$ $\textcolor{cyan}{+}$ $1$ $\textcolor{orange}{\times}$ $2$

由两矩阵相乘所得矩阵的特征（C008）

问题

已知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$, 矩阵 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\left(b_{i j}\right)_{n \times s}$.

则，$\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 运算所得的矩阵 $\boldsymbol{C}$ 是一个几行几列的矩阵？

选项

[A]. $n$ 行 $s$ 列

[B]. $m$ 行 $n$ 列

[C]. $m$ 行 $s$ 列

[D]. $s$ 行 $m$ 列

答案

$\textcolor{orange}{m}$ 行 $\textcolor{cyan}{s}$ 列

矩阵乘法运算的基础（C008）

问题

以下哪个选项中的两个矩阵可以进行乘法运算？

选项

[A]. $\boldsymbol{A}$ $=$ $\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$ 和 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\left(b_{i j}\right)_{n \times s}$

[B]. $\boldsymbol{A}$ $=$ $\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$ 和 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\left(b_{i j}\right)_{m \times s}$

[C]. $\boldsymbol{A}$ $=$ $\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$ 和 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\left(b_{i j}\right)_{n \times m}$

[D]. $\boldsymbol{A}$ $=$ $\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$ 和 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\left(b_{i j}\right)_{m \times n}$

答案

$\boldsymbol{A}$ $=$ $\left(a_{i j}\right)_{\textcolor{red}{m} \times \textcolor{cyan}{n}}$ 和 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\left(b_{i j}\right)_{\textcolor{cyan}{n} \times \textcolor{orange}{s}}$

矩阵数乘的运算规律：$\lambda$ $($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$（C008）

问题

根据矩阵数乘的运算规律，$\lambda$ $($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$ $=$ $?$

选项

[A]. $\lambda$ $($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$ $=$ $\lambda$ $\boldsymbol{A}$ $-$ $\lambda$ $\boldsymbol{B}$

[B]. $\lambda$ $($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$ $=$ $\lambda$ $\boldsymbol{A}$ $\times$ $\lambda$ $\boldsymbol{B}$

[C]. $\lambda$ $($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$ $=$ $\lambda$ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\lambda$ $\boldsymbol{B}$

[D]. $\lambda$ $($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$ $=$ $\lambda^{2}$ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\lambda^{2}$ $\boldsymbol{B}$

答案

$\textcolor{orange}{\lambda}$ $($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$ $=$ $\textcolor{orange}{\lambda}$ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\textcolor{orange}{\lambda}$ $\boldsymbol{B}$

矩阵数乘的运算规律：$($ $\lambda$ $+$ $\mu$ $)$ $\boldsymbol{A}$（C008）

问题

根据矩阵数乘的运算规律，$($ $\lambda$ $+$ $\mu$ $)$ $\boldsymbol{A}$ $=$ $?$

选项

[A]. $($ $\lambda$ $+$ $\mu$ $)$ $\boldsymbol{A}$ $=$ $\lambda$ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\mu$ $\boldsymbol{A}$

[B]. $($ $\lambda$ $+$ $\mu$ $)$ $\boldsymbol{A}$ $=$ $\frac{1}{\lambda}$ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\frac{1}{\mu}$ $\boldsymbol{A}$

[C]. $($ $\lambda$ $+$ $\mu$ $)$ $\boldsymbol{A}$ $=$ $\lambda$ $\boldsymbol{A}$ $-$ $\mu$ $\boldsymbol{A}$

[D]. $($ $\lambda$ $+$ $\mu$ $)$ $\boldsymbol{A}$ $=$ $\lambda$ $\boldsymbol{A}$ $\times$ $\mu$ $\boldsymbol{A}$

答案

$($ $\textcolor{orange}{\lambda}$ $+$ $\textcolor{cyan}{\mu}$ $)$ $\boldsymbol{A}$ $=$ $\textcolor{orange}{\lambda}$ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\textcolor{cyan}{\mu}$ $\boldsymbol{A}$

矩阵数乘的运算规律：$($ $\lambda$ $\mu$ $)$ $\boldsymbol{A}$（C008）

问题

根据矩阵数乘的运算规律，$($ $\lambda$ $\mu$ $)$ $\boldsymbol{A}$ $=$ $?$

选项

[A]. $($ $\lambda$ $\mu$ $)$ $\boldsymbol{A}$ $=$ $\lambda$ $\boldsymbol{A}$ + $\mu$ $\boldsymbol{A}$

[B]. $($ $\lambda$ $\mu$ $)$ $\boldsymbol{A}$ $=$ $\frac{\lambda}{\mu}$ $\boldsymbol{A}$

[C]. $($ $\lambda$ $\mu$ $)$ $\boldsymbol{A}$ $\neq$ $\lambda$ $($ $\mu$ $\boldsymbol{A}$ $)$

[D]. $($ $\lambda$ $\mu$ $)$ $\boldsymbol{A}$ $=$ $\lambda$ $($ $\mu$ $\boldsymbol{A}$ $)$

答案

$($ $\textcolor{orange}{\lambda}$ $\textcolor{cyan}{\mu}$ $)$ $\boldsymbol{A}$ $=$ $\textcolor{orange}{\lambda}$ $($ $\textcolor{cyan}{\mu}$ $\boldsymbol{A}$ $)$

矩阵的数乘法则（C008）

问题

已知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$, $\lambda$ 为实数.

则，$\lambda \boldsymbol{A}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\lambda \boldsymbol{A}$ $=$ $\left(\begin{array}{ccc} \lambda a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ \lambda a_{m 1} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right)$

[B]. $\lambda \boldsymbol{A}$ $=$ $\left(\begin{array}{ccc} \lambda a_{11} & \cdots & \lambda a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right)$

[C]. $\lambda \boldsymbol{A}$ $=$ $\left(\begin{array}{ccc} \lambda a_{11} & \cdots & \lambda a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ \lambda a_{m 1} & \cdots & \lambda a_{m n} \end{array}\right)$

[D]. $\lambda \boldsymbol{A}$ $=$ $\left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{\lambda} a_{11} & \cdots & \frac{1}{\lambda} a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ \frac{1}{\lambda} a_{m 1} & \cdots & \frac{1}{\lambda} a_{m n} \end{array}\right)$

答案

$\textcolor{orange}{\lambda} \boldsymbol{A}$ $=$ $\left(\textcolor{orange}{\lambda} a_{i j}\right)_{m \times n}$ $=$ $\left(\begin{array}{ccc} \textcolor{orange}{\lambda} a_{11} & \cdots & \textcolor{orange}{\lambda} a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ \textcolor{orange}{\lambda} a_{m 1} & \cdots & \textcolor{orange}{\lambda} a_{m n} \end{array}\right)$

矩阵加法运算的结合律（C008）

问题

已知，$\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 是两个可以相加的矩阵。

则，根据矩阵加法运算的结合律，$($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$ $+$ $\boldsymbol{C}$ $=$ $?$

选项

[A]. $($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$ $+$ $\boldsymbol{C}$ $\neq$ $\boldsymbol{A}$ $+$ $($ $\boldsymbol{B}$ $+$ $\boldsymbol{C}$ $)$

[B]. $($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$ $+$ $\boldsymbol{C}$ $=$ $\boldsymbol{A}$ $+$ $($ $\boldsymbol{B}$ $-$ $\boldsymbol{C}$ $)$

[C]. $($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$ $+$ $\boldsymbol{C}$ $=$ $\boldsymbol{A}$ $\times$ $($ $\boldsymbol{B}$ $+$ $\boldsymbol{C}$ $)$

答案

$($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$ $+$ $\boldsymbol{C}$ $=$ $\boldsymbol{A}$ $+$ $($ $\boldsymbol{B}$ $+$ $\boldsymbol{C}$ $)$z~$\textcolor{orange}{(}$ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $\textcolor{orange}{)}$ $+$ $\boldsymbol{C}$ $=$ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\textcolor{cyan}{(}$ $\boldsymbol{B}$ $+$ $\boldsymbol{C}$ $\textcolor{cyan}{)}$

矩阵加法运算的交换律（C008）

问题

已知，$\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 是两个可以相加的矩阵。

则，根据矩阵加法运算的交换律，$\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{B}$ $+$ $\boldsymbol{A}$

[B]. $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{A}$ $-$ $\boldsymbol{B}$

[C]. $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $\neq$ $\boldsymbol{B}$ $+$ $\boldsymbol{A}$

[D]. $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{B}$ $-$ $\boldsymbol{A}$

答案

$\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ $+$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$ $=$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$ $+$ $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$

矩阵的加法运算（C008）

问题

已知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\ 3 & 0 & 5 \end{pmatrix}$, 矩阵 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$.

则，$A$ $+$ $B$ $=$ $?$

选项

[A]. $\begin{pmatrix} 1 & 4 & -3\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

[B]. $\begin{pmatrix} 0 & 2 & 0\\ 3 & 0 & 15 \end{pmatrix}$

[C]. $\begin{pmatrix} 1 & 3 & -1\\ 4 & 2 & 8 \end{pmatrix}$

[D]. $\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\ 2 & -2 & 2 \end{pmatrix}$

答案

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & -1\\ 4 & 2 & 8 \end{pmatrix}$

矩阵相加就是把矩阵对应位置的元素相加。

由两矩阵相加所得矩阵的特征（C008）

问题

已知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$, 矩阵 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\left(b_{i j}\right)_{m \times n}$.

则，$A$ $+$ $B$ 运算所得的矩阵 $C$ 是一个几行几列的矩阵？

选项

[A]. $m$ 行 $m$ 列

[B]. $n$ 行 $m$ 列

[C]. $m$ 行 $n$ 列

[D]. $n$ 行 $n$ 列

答案

$\textcolor{orange}{m}$ 行 $\textcolor{cyan}{n}$ 列

矩阵加法运算的基础（C008）

问题

以下哪个选项中的两个矩阵可以进行加法运算？

选项

[A]. $\boldsymbol{A}$ $=$ $\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$ 和 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\left(b_{i j}\right)_{n \times m}$

[B]. $\boldsymbol{A}$ $=$ $\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$ 和 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\left(b_{i j}\right)_{n \times n}$

[C]. $\boldsymbol{A}$ $=$ $\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$ 和 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\left(b_{i j}\right)_{m \times m}$

[D]. $\boldsymbol{A}$ $=$ $\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$ 和 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\left(b_{i j}\right)_{m \times n}$

答案

$\boldsymbol{A}$ $=$ $\left(a_{i j}\right)_{\textcolor{orange}{m} \times \textcolor{cyan}{n}}$ 和 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\left(b_{i j}\right)_{\textcolor{orange}{m} \times \textcolor{cyan}{n}}$

反对称矩阵的定义（C007）

问题

以下哪个矩阵是反对称矩阵？

选项

[A]. $\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 0 \end{array}\right)$

[B]. $\left(\begin{array}{ccc} 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)$

[C]. $\left(\begin{array}{ccc} 0 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & 7 \\ 0 & -7 & 0 \end{array}\right)$

[D]. $\left(\begin{array}{ccc} 3 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 6 & 2 & 6 \end{array}\right)$

答案

$\left(\begin{array}{ccc} 0 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & 7 \\ 0 & -7 & 0 \end{array}\right)$

满足 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ $=$ $- \boldsymbol{A}$, 即 $a_{i j}$ $=$ $- a_{j i}$ 且 $a_{i i}$ $=$ $0$ 的矩阵都是反对称矩阵——关于全为零的主对角线对称位置上的元素相反。

对称矩阵的定义（C007）

问题

以下哪个矩阵是对称矩阵？

选项

[A]. $\left(\begin{array}{ccc} 3 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 7 \\ 0 & 7 & 5 \end{array}\right)$

[B]. $\left(\begin{array}{ccc} 3 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 6 & 2 & 6 \end{array}\right)$

[C]. $\left(\begin{array}{ccc} 3 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}\right)$

[D]. $\left(\begin{array}{ccc} 3 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}\right)$

答案

$\left(\begin{array}{ccc} 3 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 7 \\ 0 & 7 & 5 \end{array}\right)$

满足 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ $=$ $\boldsymbol{A}$, 即 $a_{i j}$ $=$ $a_{j i}$ 的矩阵都是对称矩阵——关于主对角线对称位置上的元素相等。

下三角矩阵的定义（C007）

问题

以下哪个矩阵是下三角矩阵？

选项

[A]. $\begin{bmatrix} 1 & 7 & 8\\ 0 & 2 & 9\\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

[B]. $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 9 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

[C]. $\begin{bmatrix} 7 & 8 & 1\\ 9 & 2 & 0\\ 3 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

[D]. $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 9\\ 3 & 7 & 8 \end{bmatrix}$

答案

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 9 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

下三角矩阵定义的标准版：
$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$, 当 $i$ $<$ $j$ 时，$a_{i j}$ $=$ $0$, $($ $j$ $=$ $2$, $3$, $\cdots$, $n$ $)$ 的矩阵称为下三角矩阵. 下三角矩阵定义的简易版：
主对角线上方（不包括主对角线）区域的元素全为零的矩阵就是下三角矩阵.