标签： 高等数学练习题

一、题目

已知函数 $z=z(x,y)$ 由方程 ${\mathrm{e}}^{x+2y+3z}$ $+$ $xyz$ $=$ $1$ 确定，则 ${\mathrm{d}z|}_{(0.0)}$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“对隐函数计算全微分”

一、题目

已知函数 $u=f(x,y,z)$ $=$ ${\mathrm{e}}^x+y^{2}z$, 其中 $z$ $=$ $z(x,y)$ 是由方程 $x+y+z+xyz$ $=$ $0$ 所确定的隐函数，则 $u_x^{\prime }(0,1,-1)$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“对于有特值的题目一定要及时代入特值进行化简”

一、题目

已知，函数 $f(x,y)$ 的全微分是：

$$(a{x}^2{y}^2-2x{y}^2)\mathrm{d}x+(2x^{3}y+b{x}^{2}y+1)\mathrm{d}y$$

则：

$$f(x,y)=?$$

难度评级：

继续阅读“由全微分反向积分求解原函数”

一、题目

已知函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, 且 $\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}\frac{f(x,y)-a-bx-cy}{\ln (1+x^2+y^2)}$ $=$ $1$, 其中 $a$, $b$, $c$ 均为常数，则 ${\mathrm{d}f(x,y)|}_{(0.0)}$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“用偏微分的定义计算全微分的特值问题（二）”

一、题目

已知，连续函数 $z$ $=$ $f(x,y)$ 满足 $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 1\end{array}}{lim}\frac{f(x,y)-2x+y-2}{\sqrt{x^2+(y-1{)}^2}}$ $=$ $0$, 则 ${\mathrm{d}z|}_{(0,1)}$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“用偏微分的定义计算全微分的特值问题（一）”

一、题目

已知函数 $z=f(x,y)$ 满足 $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$ $=$ $x$ $+$ $y$, 且有 $f(x,0)$ $=$ $x$, $f(0,y)$ $=$ $y^2$, 则 $f(x,y)$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“逆向解题：由偏导数求解偏积分”

一、题目

已知函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 可微，函数 $u(x,y)$ $=$ $f(2x+5y)$ $+$ $g(2x-5y)$, 且：

$$u(x,0)=\sin 2x$$

$$u_y^{\prime }(x,0)=0$$

则 $f(x)$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“在进行偏导运算赋值的时候，一定要清楚哪些变量不需要考虑”

一、题目

已知：

$$z={\int }_0^1|xy-t|f(t)\mathrm{d}t$$

且：

$$0⩽x⩽1$$

$$0⩽y⩽1$$

其中 $f(x)$ 为连续函数。

则：

$$z_{xx}^{\prime \prime }+z_{yy}^{\prime \prime }=?$$

难度评级：

继续阅读“被根号隐藏的变限积分”

一、题目

已知函数 $f(u,v)$ 具有二阶连续偏导数, 且满足 $4\frac{{\partial }^{2}f}{\partial u^2}$ $-$ $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial v^2}$ $=$ $1$, 若令 $g(x,y)$ $=$ $f(x^2+$ $y^2,xy)$, 则 $\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x^2}$ $-$ $\frac{{\partial }^{2}g}{\partial y^2}$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“求二阶偏导的小技巧：复用一阶偏导的部分结果”

一、题目

已知：$z$ $=$ $f(x,y)$ 在点 $(1,2)$ 处可微, 且：

$f(1,2)$ $=$ $1$, $f_x^{\prime }(1,2)$ $=$ $2$, $f_y^{\prime }(1,2)$ $=$ $3$.

若设函数 $\phi (x)$ $=$ $f(x,2f(x,2x))$, 则 ${\phi }^{\prime }(1)$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“一个多层嵌套（复合函数）求偏导的题目”

一、题目

已知可微函数 $f(u,v)$ 满足 $\frac{\partial f(u,v)}{\partial u}$ $+$ $\frac{\partial f(u,v)}{\partial v}$ $=$ $(u+v){\mathrm{e}}^v$, 且 $f(0,v)$ $=$ $(v-2){\mathrm{e}}^v$. 求 $f(x,x+y)$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“先偏导再积分也能确定原函数”

一、题目

已知 $z$ $=$ ${\mathrm{e}}^{xy}$ $+$ $f(x+y,xy)$, $f(u,v)$ 有二阶连续偏导数, 则 $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“求偏导时，函数的第一部分变量用 1 表示，第二部分变量用 2 表示”

一、题目

已知 $f(x,y)$ $=$ $\ln |x+y|$ $-$ $\sin (xy)$, 则 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$ 在点 $(1,\pi )$ 处的值是多少？

难度评级：

继续阅读“求解偏导数的时候一定要清楚当前谁是自变量：文内有小技巧”

一、题目

已知 $f(x)$ $=$ $x^2$ ${\mathrm{e}}^{3x}$, 则 $f^{(n)}(0)$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“使用麦克劳林公式（泰勒公式）求解函数 n 阶导”

一、题目

数列 $1$, $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$, $\cdots$, $\sqrt[n]{n}$, $\cdots$ 的最大值是哪一项？

难度评级：

继续阅读“摆脱惯性思维：数列不一定都是单调的，也可能有“最值点””