被根号隐藏的变限积分

一、题目

已知：

$$
z = \int_{0}^{1}|x y-t| f(t) \mathrm{~d} t
$$

且：

$$
0 \leqslant x \leqslant 1
$$

$$
0 \leqslant y \leqslant 1
$$

其中 $f(x)$ 为连续函数。

则：

$$
z_{x x}^{\prime \prime} + z_{y y}^{\prime \prime} = ?
$$

难度评级：

二、解析

$$
0 \leqslant x \leqslant 1, \quad 0 \leqslant y \leqslant 1 \Rightarrow
$$

$$
0 \leqslant x y \leq 1
$$

Next

于是：

$$
z = \int_{0}^{1}|x y-t| f(t) \mathrm{d} t \Rightarrow
$$

$$
z = \int_{0}^{x y}(x y-t) f(t) \mathrm{d} t+\int_{x y}^{1}(t-x y) f(t) \mathrm{d} t \Rightarrow
$$

积分上下限就是被积变量 $t$ 的取值范围。

$$
z = \int_{0}^{x y}(x y-t) f(t) \mathrm{d} t+\int_{1}^{x y}(x y-t) f(t) \mathrm{d} t \Rightarrow
$$

$$
z = x y \int_{0}^{x y} f(t) \mathrm{d} t-\int_{0}^{x y} t f(t) \mathrm{d} t +
$$

$$
x y \int_{1}^{x y} f(t) \mathrm{d} t-\int_{1}^{x y} t f(t) \mathrm{d} t .
$$

Next

进而：

$$
z^{\prime}_{x}= y \int_{0}^{x y} f(t) \mathrm{d} t+x y^{2} f(x y)-x y^{2} f(x y) +
$$

$$
y \int_{1}^{x y} f(t) \mathrm{d} t+x y^{2} f(x y)-x y^{2} f(x y) \Rightarrow
$$

$$
z^{\prime} _{x} = y \int _{0}^{x y} f(t) \mathrm{d} t+y \int_{1}^{x y} f(t) \mathrm{d} t \Rightarrow
$$

$$
z^{\prime \prime} _{x x} = y^{2} f(x y)+y^{2} f(x y)=2 y^{2} f(x y).
$$

Next

又由于，在函数 $z$ 中，对调 $x$ 与 $y$ 后得到的函数仍然是 $z$, 因此，在函数 $z$ 中，$x$ 与 $y$ 具有对称性，因此，由对称性可得：

$$
z^{\prime \prime} _{y y} = 2 x^{2} f(x y).
$$

Next

综上可得：

$$
z_{x x}^{\prime \prime} + z^{\prime \prime} _{y y} = 2\left(x^{2}+y^{2}\right) f(x y)
$$

---