一、题目
$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{2} \mathrm{e}^{2 x}}{1+x^{2}\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}}=?
$$
难度评级：
继续阅读“取大头：分子或分母中的加减法所连接的部分可以使用“取大头”算法”标签： 高等数学练习题
不是所有的定积分都必须做积分运算：在有极限的时候也可以尝试夹逼定理
一、题目
$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{x+3} \mathrm{~d} x=?
$$
难度评级：
继续阅读“不是所有的定积分都必须做积分运算：在有极限的时候也可以尝试夹逼定理”你能写出这个复合函数吗？
一、题目
已知：
$$
f(x) =
\begin{cases}
& x^{3}, & x<-1;\\ & 2-x, & -1 \leqslant x \leqslant 0;\\ & 2+x, & x>0
\end{cases}
$$
且：
$$
g(x) =
\begin{cases}
& x^{2}, & x<0; \\
& -x, & x \geqslant 0.
\end{cases}
$$
则 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} f[g(x)] = ?$
难度评级：
继续阅读“你能写出这个复合函数吗？”这有一个“眼花缭乱”的题：做的时候千万不要乱！
一、题目
$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[4]{1-\sqrt[3]{1-\sqrt{1-x}}}-1}{(1+x)^{\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}}-1}=?
$$
难度评级：
继续阅读“这有一个“眼花缭乱”的题：做的时候千万不要乱！”不趋于零的怎么求？凑成零！
集火攻击：多种方法解一道题
一、题目
$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\left(3+\sin x^{2}\right)^{x}-3^{\sin x}}{x^{3}} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“集火攻击：多种方法解一道题”有根号又有平方的累次积分怎么求解？用极坐标系试一试吧！
一、题目
$$
I=\int_{-1}^{0} \mathrm{~d} x \int_{1-\sqrt{1-x^{2}}}^{-x} \frac{\mathrm{d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}=?
$$
难度评级：
继续阅读“有根号又有平方的累次积分怎么求解？用极坐标系试一试吧！”计算累次积分的核心：分离两个变量，在两个不同的积分中分别计算
一、题目
$$
\int_{1}^{2} \mathrm{~d} x \int_{\frac{1}{x}}^{2} y \mathrm{e}^{x y} \mathrm{~d} y = ?
$$
难度评级：
继续阅读“计算累次积分的核心：分离两个变量，在两个不同的积分中分别计算”“无穷”的“心思”不能靠“有穷”来猜
一、题目
$\int_{-\infty}^{+\infty} \sin 2 x \cdot \mathrm{e}^{|x|} \mathrm{~ d} x$ 的敛散性如何？
难度评级：
继续阅读““无穷”的“心思”不能靠“有穷”来猜”曲线与坐标轴所围成的面积不一定就等于对应区间上积分的值
一、题目
曲线 $y=x^{2} \sin x$ $(0 \leqslant x \leqslant 2 \pi)$ 与 $X$ 轴所围成区域的面积 $S$ 的表达式是什么？
难度评级：
继续阅读“曲线与坐标轴所围成的面积不一定就等于对应区间上积分的值”利用现成的结论快速解题
一、题目
已知 $a$ 与 $b$ 是两个常数, 且 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}$ $\mathrm{e}^{x}\left(\int_{0}^{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t+a\right)$ $=$ $b$, 则
$$
\begin{cases}
& a = ? \\
& b = ?
\end{cases}
$$
难度评级：
继续阅读“利用现成的结论快速解题”一个不能用洛必达运算也不能用泰勒公式的无穷小题目
一、题目
已知 $f(x)=1-\cos x$, 则：
$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{(1-\sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x})(1-\sqrt[4]{\cos x})(1-\sqrt[5]{\cos x})}{f\{ f[f(x)] \}}=?
$$
难度评级：
继续阅读“一个不能用洛必达运算也不能用泰勒公式的无穷小题目”变限积分被积函数中包含的变量不好处理？先整体代换试试！
一、题目
已知 $f(x)$ 可导, $f(0)=0$, $f^{\prime}(0)=2$, $F(x)$ $=$ $\int_{0}^{x} t^{2} f\left(x^{3}-t^{3}\right) \mathrm{d} t$, $g(x)=\frac{x^{7}}{5}$ $+$ $\frac{x^{6}}{6}$, 则 当 $x \rightarrow 0$ 时, $F(x)$ 是 $g(x)$ 的等价无穷小吗？
难度评级：
继续阅读“变限积分被积函数中包含的变量不好处理？先整体代换试试！”一般规律：大于 1 时越乘越大，小于 1 时越乘越小
一、题目
已知正数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{a_{n}} x^{n} \mathrm{~d} x$ $=$ $2$, 则 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“一般规律：大于 1 时越乘越大，小于 1 时越乘越小”当定积分遇上无穷大：先积分再计算无穷大
一、题目
已知：
$$
a_{n}=3 \int_{0}^{\frac{n+1}{n}} x^{2 n-1} \sqrt{1+x^{2 n}} \mathrm{~d} x
$$
则：
$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n a_{n} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“当定积分遇上无穷大：先积分再计算无穷大”