先偏导再积分也能确定原函数

一、题目

已知可微函数 $f(u, v)$ 满足 $\frac{\partial f(u, v)}{\partial u}$ $+$ $\frac{\partial f(u, v)}{\partial v}$ $=$ $(u+v) \mathrm{e}^{v}$, 且 $f(0, v)$ $=$ $(v-2) \mathrm{e}^{v}$. 求 $f(x, x+y)$ $=$ $?$

难度评级：

二、解析

首先，将 $f(u, v)$ 看作是 $x$ 和 $y$ 的函数，即：

$$
f(u, v) \Rightarrow u=x, v=x+y \Rightarrow f(x, x+y).
$$

Next

接着，求解 在函数 $f(x, x+y)$ 中对 $x$ 求导，计算出 $f^{\prime}_{x}$:

$$
f^{\prime}_{x} =
$$

$$
\frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} =
$$

$$
\frac{\partial f}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial v} =
$$

$$
(u+v) e^{v}=(2 x+y) e^{x+y}.
$$

Next

于是：

$$
f(x) = \int f^{\prime}_{x} \mathrm{d} x = \int (2 x+y) e^{x+y} \mathrm{d} x \Rightarrow
$$

$$
\int(2 x+y) \mathrm{d} \left(e^{x+y}\right) =
$$

$$
(2 x+y) e^{x+y}-2 \int e^{x+y} \mathrm{d} x \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{
f(x) = (2 x+y) e^{x+y}-2 e^{x+y}+\varphi(y) }. \quad ①
$$

其中，$\varphi(y)$ 表示待定常数。

Next

接着，我们需要使用题目中给定的条件，确定 $\varphi(y)$ 的具体数值。

由于当 $x = 0$ 时：

$$
f(0, v)=(v-2) e^{v} =
$$

$$
f(0, 0 + y)=(0 + y-2) e^{0 + y} = (y-2) e^{y}. ②
$$

Next

同样的，将 $x = 0$ 代入到前面的 $①$ 式可得：

$$
f(0, y) = y e^{y}-2 e^{y}+\varphi(y) \Rightarrow
$$

$$
f(0, y) = (y – 2) e^{y}+\varphi(y) \quad ③
$$

Next

联立 $②$ 和 $③$ 两式可得：

$$
\varphi(y) = 0.
$$

Next

综上可知：

$$
f(x)=(2 x+y) e^{x+y}-2 e^{x+y} \Rightarrow
$$

$$
f(x) = (2 x+y-2) e^{x+y}.
$$

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