对于有特值的题目一定要及时代入特值进行化简

一、题目

已知函数 $u=f(x, y, z)$ $=$ $\mathrm{e}^{x}+y^{2} z$, 其中 $z$ $=$ $z(x, y)$ 是由方程 $x+y+z+x y z$ $=$ $0$ 所确定的隐函数，则 $u_{x}^{\prime}(0,1,-1)$ $=$ $?$

难度评级：

二、解析

注意：由于本题是一个特值问题，因此，在做一些计算的时候，没必要将化简运算进行到底之后再代入具体的数值——在进行化简过程中，就可以将能代入的数值代入式子中。

由题可得：

$$
u_{x}^{\prime}=e^{x}+y^{2} z^{\prime} x.
$$

接着：

$$
x+y+z+x y z=0 \Rightarrow
$$

对 $x$ 求偏导 $\Rightarrow$

$$
1+z_{x}^{\prime}+y z+x y z_{x}^{\prime}=0 \Rightarrow
$$

$$
\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=1 \\ z=-1\end{array}\right.
\Rightarrow
$$

$$
1+z^{\prime} x+(-1)=0 \Rightarrow
$$

$$
z^{\prime} x=0
$$

于是：

$$
u_{x}^{\prime}=e^{x}+y^{2} z_{x}^{\prime} \Rightarrow
$$

$$
u_{x}^{\prime}=e^{x} \Rightarrow u_{x}^{\prime}(0,1,-1)=e^{0}=1.
$$

---