复合函数和隐函数联合求偏导：能代入的值先代入

一、题目

已知函数 $f(u, v)$ 可微, 另一个函数 $z$ $=$ $z(x, y)$ 由方程 $(x+1) z$ $-$ $y^{2}$ $=$ $x^{2} f(x-z, y)$ 确定, 则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}$ $=$ $?$

难度评级：

二、解析

当 $x=0$, $y=1$ 时：

$$
(x+1) z-y^{2}=x^{2} f(x-z, y) \Rightarrow
$$

$$
z-1=0 \Rightarrow z=1
$$

又，当 $y=1$ 时：

$$
(x+1) z-y^{2}=x^{2} f(x-z, y) \Rightarrow
$$

$$
(x+1) z-1=x^{2} f(x-z, 1) \Rightarrow
$$

对 $x$ 求偏导 $\Rightarrow$

$$
z+(x+1) z_{x}^{\prime}=2 x f(x-z, 1) + x^{2} [f_{1}^{\prime}(x-z, 1)] \Rightarrow
$$

$$
x=0, z=1 \Rightarrow
$$

$$
1+z_{x}^{\prime}=0 \Rightarrow z_{x}^{\prime}=-1
$$

同样的，当 $x = 0$ 时：

$$
(x+1) z-y^{2}=x^{2} f(x-z, y) \Rightarrow
$$

$$
z – y^{2} = 0 \Rightarrow
$$

对 $y$ 求偏导 $\Rightarrow$

$$
z_{y}^{\prime}=2 y \Rightarrow y=1 \Rightarrow z^{\prime} _{y} = 2
$$

综上可得：

$$
\mathrm{d} z \big|_{(0,1)}=- \mathrm{d} x+2 \mathrm{d} y.
$$

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