对隐函数计算全微分

一、题目

已知函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $\mathrm{e}^{x+2 y+3 z}$ $+$ $x y z$ $=$ $1$ 确定，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0.0)}$ $=$ $?$

难度评级：

二、解析

$$
e^{x+2 y+3 z}+x y z=1 \Rightarrow
$$

对 $x$ 求偏导 $\Rightarrow$

$$
e^{x+2 y+3 z} \cdot\left(1+3 z_{x}^{\prime}\right)+y z+x y z_{x}^{\prime}=0 \quad ①
$$

$$
e^{x+2 y+3 z}+x y z=1 \Rightarrow
$$

对 $y$ 求偏导 $\Rightarrow$

$$
e^{x+2 y+3 z} \cdot\left(2+3 z^{\prime} _{y} \right)+x z+x y z_{y}^{\prime} = 0 \quad ②
$$

又：当 $x=0$, $y=0$ 时：

$$
e^{0+0+3 z}+0=1 \Rightarrow z=0
$$

因此，将 $x=0$, $y=0$, $z=0$ 代入 $①$ 式可得：

$$
e^{0} \cdot\left(1+3 z_{x}^{\prime}\right)=0 \Rightarrow
$$

$$
z_{x}^{\prime}=\frac{-1}{3}
$$

将 $x=0$, $y=0$, $z=0$ 代入 $②$ 式可得：

$$
e^{0} \cdot\left(2+3 z^{\prime} _{y} \right)=0 \Rightarrow
$$

$$
z_{y}^{\prime}=\frac{-2}{3}
$$

综上可知：

$$
\mathrm{d} z \big|_{(0,0)}=\frac{-1}{3} \mathrm{d} x-\frac{2}{3} \mathrm{d} y
$$

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