用一个小技巧牢记求导公式 $(u v)^{\prime}$ $=$ $u^{\prime} v$ $+$ $u v^{\prime}$

一、问题描述 问题描述 - 荒原之梦

已知函数 $u$ $=$ $u(x)$, $v$ $=$ $v(x)$, 则针对 $(u v)^{\prime}$ 的求导计算公式如下:

$$
(u v)^{\prime} = u^{\prime} v + u v^{\prime}
$$

但是,由于一些原因,有时候我们可能会无法确定 $(u v)^{\prime}$ 到底是等于 $u^{\prime} v$ $\textcolor{orange}{+}$ $u v^{\prime}$ 还是等于 $u^{\prime} v$ $\textcolor{red}{-}$ $u v^{\prime}$

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变限积分求导例题:被积函数中含有积分上下限

一、题目题目 - 荒原之梦

$$
\Bigg[ \int_{x}^{y} f(x+y – t) \mathrm{d} t \Bigg]^{\prime}_{x} = ?
$$

$$
\Bigg[ \int_{x}^{y} f(x+y – t) \mathrm{d} t \Bigg]^{\prime}_{y} = ?
$$

补充资料:
[1]. 多种形式的变限积分求导方法总结. 打开链接 - 荒原之梦

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一个复合函数求二阶偏导的例题:$u(x, y)$ $=$ $u(\sqrt{x^{2} + y^{2}})$

一、题目题目 - 荒原之梦

已知,有 $u(x, y)$ $=$ $u(\sqrt{x^{2} + y^{2}})$, $r$ $=$ $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ $>$ $0$.

并且已知函数 $u(x, y)$ 有二阶连续的偏导数,要求计算:

$\frac{\partial u}{\partial x}$、$\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}}$、$\frac{\partial u}{\partial y}$、$\frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}}$.

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一阶常系数非齐次线性差分方程的特解:$f(t)$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $P_{m}(t)$ 且 $a$ $+$ $d$ $=$ $0$(B032)

问题

已知,有一阶常系数非齐次线性差分方程:
$y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f(t)$.

其中,非齐次项 $f(t)$ $=$ $f(t)$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $P_{m}(t)$, 其中,$d$ 为非零常数,$P_{m}(t)$ $=$ $b_{0}$ $+$ $b_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $b_{m}$ $t^{m}$

且:$a$ $+$ $d$ $\neq$ $0$.

则,试取特解的形式 $y_{t}^{*}$ $=$ $?$

选项

[A].   $y_{t}^{*}$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$

[B].   $y_{t}^{*}$ $=$ $t$ $\cdot$ $d^{t}$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$

[C].   $y_{t}^{*}$ $=$ $t$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$

[D].   $y_{t}^{*}$ $=$ $\frac{1}{t}$ $\cdot$ $d^{t}$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$


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$y_{t}^{*}$ $=$ $t$ $\cdot$ $d^{t}$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$

其中,$Q_{m}(t)$ $=$ $B_{0}$ $+$ $B_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m}$, 其中 $B_{0}$, $B_{1}$, $\cdots$, $B_{m}$ 为待定常数.

一阶常系数非齐次线性差分方程的特解:$f(t)$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $P_{m}(t)$ 且 $a$ $+$ $d$ $\neq$ $0$(B032)

问题

已知,有一阶常系数非齐次线性差分方程:
$y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f(t)$.

其中,非齐次项 $f(t)$ $=$ $f(t)$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $P_{m}(t)$, 其中,$d$ 为非零常数,$P_{m}(t)$ $=$ $b_{0}$ $+$ $b_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $b_{m}$ $t^{m}$

且:$a$ $+$ $d$ $\neq$ $0$.

则,试取特解的形式 $y_{t}^{*}$ $=$ $?$

选项

[A].   $y_{t}^{*}$ $=$ $Q_{m}(t)$

[B].   $y_{t}^{*}$ $=$ $\frac{1}{t}$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$

[C].   $y_{t}^{*}$ $=$ $t$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$

[D].   $y_{t}^{*}$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$


上一题 - 荒原之梦   答 案   下一题 - 荒原之梦

$y_{t}^{*}$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$

其中,$Q_{m}(t)$ $=$ $B_{0}$ $+$ $B_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m}$, 其中 $B_{0}$, $B_{1}$, $\cdots$, $B_{m}$ 为待定常数.

一阶常系数非齐次线性差分方程的特解:$f(t)$ $=$ $P_{m}(t)$ 且 $a$ $=$ $-1$(B032)

问题

已知,有一阶常系数非齐次线性差分方程:
$y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f(t)$.

其中,非齐次项 $f(t)$ $=$ $P_{m}(t)$ $=$ $b_{0}$ $+$ $b_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $b_{m}$ $t^{m}$

且:$a$ $=$ $-1$.

则,试取特解的形式 $y_{t}^{*}$ $=$ $?$

选项

[A].   $y_{t}^{*}$ $=$ $t$

[B].   $y_{t}^{*}$ $=$ $\frac{1}{t}$ $Q_{m}(t)$

[C].   $y_{t}^{*}$ $=$ $Q_{m}(t)$

[D].   $y_{t}^{*}$ $=$ $t$ $Q_{m}(t)$


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$y_{t}^{*}$ $=$ $t$ $Q_{m}(t)$

其中,$Q_{m}(t)$ $=$ $B_{0}$ $+$ $B_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m}$, 其中 $B_{0}$, $B_{1}$, $\cdots$, $B_{m}$ 为待定常数.

一阶常系数非齐次线性差分方程的特解:$f(t)$ $=$ $P_{m}(t)$ 且 $a$ $\neq$ $-1$(B032)

问题

已知,有一阶常系数非齐次线性差分方程:
$y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f(t)$.

其中,非齐次项 $f(t)$ $=$ $P_{m}(t)$ $=$ $b_{0}$ $+$ $b_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $b_{m}$ $t^{m}$

且:$a$ $\neq$ $-1$.

则,试取特解的形式 $y_{t}^{*}$ $=$ $?$

选项

[A].   $y_{t}^{*}$ $=$ $Q_{m}(t)$ $=$ $B_{0}$ $+$ $B_{1}$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$

[B].   $y_{t}^{*}$ $=$ $Q_{m}(t)$ $=$ $B_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m}$

[C].   $y_{t}^{*}$ $=$ $Q_{m}(t)$ $=$ $B_{0}$ $+$ $B_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m}$

[D].   $y_{t}^{*}$ $=$ $Q_{m}(t)$ $=$ $B_{0}$ $t$ $+$ $B_{1}$ $t^{2}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m+1}$


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$y_{t}^{*}$ $=$ $Q_{m}(t)$ $=$ $B_{0}$ $+$ $B_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m}$, 其中 $B_{0}$, $B_{1}$, $\cdots$, $B_{m}$ 为待定常数.

齐次差分方程通解的形式(B032)

问题

已知,$C$ 为任意常数,则以下哪个是齐次差分方程通解的形式?

选项

[A].   $y_{C}(t)$ $=$ $(-a)^{t}$ $+$ $C$

[B].   $y_{C}(t)$ $=$ $C$ $\cdot$ $(a)^{t+1}$

[C].   $y_{C}(t)$ $=$ $C$ $\cdot$ $(a)^{t}$

[D].   $y_{C}(t)$ $=$ $C$ $\cdot$ $(-a)^{t}$


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$y_{C}(t)$ $=$ $C$ $\cdot$ $(-a)^{t}$

一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式(B032)

问题

已知,$f(t)$ $\neq$ $0$, $a$ 为非零常数,则,以下哪个选项是一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式?

选项

[A].   $y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $0$

[B].   $y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f(t)$

[C].   $y_{t+1}$ $-$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f(t)$

[D].   $a$ $y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f(t)$


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$y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f(t)$

差分方程解的可加性(B032)

问题

已知:

$\overline{y_{t}}$ 与 $\widetilde{y_{t}}$ 分别是差分方程 $y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f_{1}(t)$ 和 $y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f_{2}(t)$ 的解。

则,以下哪个选项是差分方程 $y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f_{1}(t)$ $+$ $f_{2}(t)$ 的解?

选项

[A].   $\overline{y_{t}}$ $\times$ $\widetilde{y_{t}}$

[B].   $$

[C].   $\overline{y_{t}}$ $-$ $\widetilde{y_{t}}$

[D].   $\frac{\overline{y_{t}}}{\widetilde{y_{t}}}$


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$\overline{y_{t}}$ $+$ $\widetilde{y_{t}}$


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