一、前言
泰勒公式有很多用处,例如求解函数的 $n$ 阶导。如果大家想要掌握泰勒展开式的整体计算公式,可以查阅「荒原之梦考研数学」的《用逐步简化的方法记忆泰勒公式》这篇文章。在本文中,「荒原之梦考研数学」将为同学们提供考研数学中常见的一些在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的泰勒展开式,或者说常见的麦克劳林公式。
继续阅读“考研数学常用的泰勒公式(麦克劳林公式)汇总”泰勒公式有很多用处,例如求解函数的 $n$ 阶导。如果大家想要掌握泰勒展开式的整体计算公式,可以查阅「荒原之梦考研数学」的《用逐步简化的方法记忆泰勒公式》这篇文章。在本文中,「荒原之梦考研数学」将为同学们提供考研数学中常见的一些在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的泰勒展开式,或者说常见的麦克劳林公式。
继续阅读“考研数学常用的泰勒公式(麦克劳林公式)汇总”已知 $\boldsymbol{\eta}_{1}$, $\boldsymbol{\eta}_{2}$, $\boldsymbol{\eta}_{3}$ 均是 $\boldsymbol{A x}$ $=$ $b$ 的解,若 $k_{1} \boldsymbol{\eta}_{1}$ $+$ $k_{2} \boldsymbol{\eta}_{2}$ $+$ $k_{3} \boldsymbol{\eta}_{3}$ 也是 $\boldsymbol{A x}$ $=$ $b$ 的解,则 $k_{1}$, $k_{2}$, $k_{3}$ 应满足:
[A]. $k_{1}$ $+$ $k_{2}$ $+$ $k_{3}$ $=$ $1$
[B]. $k_{1}$ $+$ $k_{2}$ $+$ $k_{3}$ $=$ $3$
[C]. $k_{1}$ $\times$ $k_{2}$ $\times$ $k_{3}$ $=$ $1$
[D]. $k_{1}$ $=$ $1$ 且 $k_{2}$ $=$ $1$ 且 $k_{3}$ $=$ $1$
难度评级:
继续阅读“非齐次线性方程组不同解向量的系数相加等于 1 时,相加所得的向量也是该方程的解”已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶方阵,$r(\boldsymbol{A})$ $=$ $n-1$, $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ 是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} x$ $=$ $0$ 的两个不同的解,$k$ 是任意常数,则以下哪个选项一定是 $\boldsymbol{A} x$ $=$ $0$ 的通解?
[A]. $k \boldsymbol{\alpha}_{1}$
[B]. $k \boldsymbol{\alpha}_{2}$
[C]. $k (\boldsymbol{\alpha}_{1}$ $+$ $\boldsymbol{\alpha}_{2} )$
[D]. $k (\boldsymbol{\alpha}_{1}$ $-$ $\boldsymbol{\alpha}_{2} )$
难度评级:
继续阅读“不同的数字相减一定不得零,但相加就不一定了”已知:
$$
\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
$$
$$
\boldsymbol{B} = \begin{bmatrix}
3 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
$$
求可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$, 使得下式成立:
$$
\boldsymbol{C}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C} = \boldsymbol{B}
$$
难度评级:
继续阅读“利用“对称初等变换”求解合同矩阵中的可逆矩阵 C”关于主对角线对称的矩阵,特别是单位矩阵具有很多的神奇的性质,在「荒原之梦考研数学」的《单位矩阵可以用来记录初等变换》一文中,我们学习了单位矩阵在“存储”和“写入”矩阵初等行变换和初等列变换上的能力。
在本文中,我们将学习单位矩阵和一般的对称矩阵在“对称初等变换”条件下自动生成其转置矩阵的特殊性质。
graph TD O{O} --第 1 行与第 2 行的初等变换--> A1[A1]; O --第 1 列与第 2 列的初等变换--> B1[B1]; A1 --第 2 行与第 3 行的初等变换--> A2[A2]; B1 --第 2 列与第 3 列的初等变换--> B2[B2]; A2 --第 i 行与第 j 行的初等变换--> A[A]; B2 --第 i 列与第 j 列的初等变换--> B[B]; A --> C[A 和 B 互为转置矩阵]; B --> C;继续阅读“对称矩阵/单位矩阵经“对称初等变换”可以生成互为转置矩阵的两个矩阵”
线性代数中的“单位矩阵($\boldsymbol{E}$)”是一个非常特别的矩阵,这个矩阵非常简单,以至于可以用来记录初等变换的过程。
在本文中,「荒原之梦考研数学」就给同学们讲解一下单位矩阵的这一作用。
继续阅读“单位矩阵可以用来记录初等变换”在线性代数中,我们会遇到关于单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 的如下写法:
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{E}_{12} \quad \boldsymbol{E}_{23} \quad \boldsymbol{E}_{31} \quad \cdots
\end{aligned}
$$
那么,上面这种写法表示什么意思呢?
在本文中,「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解一下。
继续阅读“线性代数中的 E12, E23 表示什么意思?”如果两个二次型之间可以通过坐标变换相互转化,那么这两个二次型的系数矩阵之间具有什么关系呢?
在本文中,「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解这一问题。
继续阅读“通过坐标变换联系起来的两个二次型的系数矩阵互为合同矩阵”已知,函数 $f (x)$ 连续,且:
$$
\lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ \ln( 1+2x ) + x f(x)} {x^{2}} = 3
$$
则:
$$
\lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ 2+f(x) }{x} = ?
$$
难度评级:
继续阅读“这道题目看似很简单,但全身都是“坑””在高等数学的学习中,我们会遇到两种“零”:等于零($= 0$)和趋于零($\rightarrow 0$)。
那么,在计算的时候,这两种“零”有哪些不同点和相同点呢?在本文中,「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解这一知识点。
继续阅读“数字零和极限零有什么区别?”已知 $0$ $\leqslant$ $\theta$ $\leqslant$ $3 \pi$, 且:
$$
r(\theta) = \left( \sin \frac{\theta}{3} \right) ^{3}
$$
则曲线 $r(\theta)$ 的弧长是多少?
有时候,曲线 $r(\theta)$ 的极坐标方程也写作:$r(\theta)$ $=$ $\sin ^{3} \frac{\theta}{3}$.
难度评级:
继续阅读“封闭曲线的弧长不一定是周长”已知 $c > 0$ 为常数,且:
$$
f(x) = \int_{c ^{2}}^{x ^{2}} \frac{\sin k}{k} \mathrm{~d} k
$$
则:
$$
I = \int_{0}^{c} x f(x) \mathrm{~d} x
$$
难度评级:
继续阅读“积分上限和积分下限相等的定积分一定等于零”已知 $y ^{\prime} (x)$ $=$ $\arctan (1 – x)^{2}$, $y(0)$ $=$ $1$, 则:
$$
I = \int_{0}^{1} y(x) \mathrm{~d} x = ?
$$
难度评级:
继续阅读“一重积分的问题用二重积分求解”$$
\begin{aligned}
& I = \\ \\
& \lim_{ x \rightarrow + \infty } \left[ \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} + x + 1 } – \frac{ \ln \left( \mathrm{e}^{x} + x \right) }{x} \times \sqrt{x^{2} + x + 1 } \right] \\ \\
& = ?
\end{aligned}
$$
难度评级:
继续阅读“如果不能完全去掉根号,也要想办法把根号“挤”到分子上”