一、题目
$$
\int \frac{(x+1)^{2}}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“对于含有根号的部分，在积分的时候也可以尝试直接使用”标签： 考研数学一
在这两道题中，你能快速区分是对指数函数求导，还是对幂函数求导吗？
题目一
若有函数 $f(x,y)=x^{y}$, 其中 $x, y > 0$，则 $\frac{\partial f}{\partial x} = ?$, $\frac{\partial f}{\partial y} = ?$
解析一
对自变量 $\textcolor{lightgreen}{x}$ 求偏导时，需要将自变量 $y$ 看作常数，此时 $\textcolor{lightgreen}{x}^{y}$ 就是关于 $\textcolor{lightgreen}{x}$ 的幂函数，于是：
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = y \textcolor{lightgreen}{x}^{y-1}
$$
对自变量 $\textcolor{orange}{y}$ 求偏导时，需要将自变量 $x$ 看作常数，此时 $x^{\textcolor{orange}{y}}$ 就是关于 $\textcolor{orange}{y}$ 的指数函数，于是：
$$
\frac{\partial f}{\partial y} = x^{\textcolor{orange}{y}} \ln x
$$
题目二
若有函数 $f(x,y)=y^{x}$, 其中 $x, y > 0$，则 $\frac{\partial f}{\partial x} = ?$, $\frac{\partial f}{\partial y} = ?$
解析二
对自变量 $\textcolor{lightgreen}{x}$ 求偏导时，需要将自变量 $y$ 看作常数，此时 $y^{\textcolor{lightgreen}{x}}$ 就是关于 $\textcolor{lightgreen}{x}$ 的指数函数，于是：
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = y^{\textcolor{lightgreen}{x}} \ln y
$$
对自变量 $\textcolor{orange}{y}$ 求偏导时，需要将自变量 $x$ 看作常数，此时 $\textcolor{orange}{y}^{x}$ 就是关于 $\textcolor{orange}{y}$ 的幂函数，于是：
$$
\frac{\partial f}{\partial y} = x \textcolor{orange}{y}^{x-1}
$$
高等数学
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
线性代数
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
特别专题
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
让考场上没有难做的数学题！
一阶偏导数定义的理解
一、前言
导数是对一元函数而言的，偏导数（偏导数有时也称为“偏微商”）是对多元函数而言的. 在本文中，我们就基于二元函数 $z = f(x, y)$ 来理解其一阶偏导数的定义.
继续阅读“一阶偏导数定义的理解”峰图 | 基于对函数微观结构的定义研究函数的光滑属性
什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于《判断一个点是不是尖点的“峰”式图形化方法：落圆法》和《为什么“尖点”一定是不可导点？因为尖点不是“双胞胎点”》这两篇文章中原创的新视角和思路，进一步做方法上的完善，通过对函数微观结构的创造性定义，在微观视角上实现对函数光滑属性的描述和解释. 由于对函数光滑属性的研究，实际上就是对函数的导函数进行研究，所以，本文所提供的方法可用于以更加直观的方式解释函数的可导性，以及对导函数性质的描述.
继续阅读“峰图 | 基于对函数微观结构的定义研究函数的光滑属性”函数表达式就是函数本身吗？
一、前言
函数可以表示成函数表达式，也可以表示成函数图象，甚至也可以用一系列的坐标点表示（几乎所有的计算机绘图使用的都是这种方式）——
我们知道，函数图象和函数的点阵坐标都只是对函数的近似表示，严格地说，无论函数图象，还是函数的点阵坐标，都不是函数本身.
那么，函数的表达式和函数是完全等价的关系吗？
继续阅读“函数表达式就是函数本身吗？”用积分化简反三角函数和对数函数
如果不能一步登天，那就步步为营
一、题目
已知 $a > 0$, $b > 0$ 满足 $a + 2b = 1$. 请求解 $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}$ 的最小值.
公式类推的过程中一定要注意约束条件是否唯一
一、前言
对公式做类推，通常可以让我们借助一个较简单的公式，直接得到一个较复杂的公式，并且不需要经过太多的推理过程.
在对公式做类推的时候，往往只能考虑一个变量，如果考虑两个及以上的变量，则会让整个类推的过程变得很复杂. 所以，在对公式做类推的时候，一定要注意识别类推得出的式子与之前的式子相比，是不是只有一个变量发生变化.
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过 $\ln x$ 和 $\ln (1-x)$ 的多阶导表达式的类推，来阐述上面的问题.
继续阅读“公式类推的过程中一定要注意约束条件是否唯一”你擅长做矩阵乘法，还是矩阵加减法？
一、题目
已知矩阵 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}$, 单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ $=$ $\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$, 则：
$$
\begin{vmatrix} \boldsymbol{E} – \boldsymbol{A}^{2} \end{vmatrix} = ?
$$
矩阵运算与特征值运算的映射关系
2019年考研数二第23题解析：相似矩阵、相似对角化
一、题目
已知矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} -2 & -2 & 1 \\ 2 & x & -2 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}$ 与 $\boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & y \end{bmatrix}$ 相似.
(I) 求 $x$, $y$；
(II) 求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{B}$.
矩阵 A 相似对角化中的可逆矩阵 P 为什么是由矩阵 A 的特征向量组成的？
一、前言
在《求解矩阵相似对角化中可逆矩阵 P 的步骤》这篇文章中，我们知道了求解矩阵相似对角化 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}$ $=$ $\boldsymbol{\Lambda}$ 中可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 的步骤.
在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过对这一步骤必要性和充分性的分析，来说明为什么矩阵 $\boldsymbol{A}$ 相似对角化中的可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 是由矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量组成的.
继续阅读“矩阵 A 相似对角化中的可逆矩阵 P 为什么是由矩阵 A 的特征向量组成的？”在本文中，我们用 $\boldsymbol{\Lambda}$ 表示对角矩阵.
求解矩阵相似对角化中可逆矩阵 P 的步骤
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将从矩阵的特征值、特征向量与相似对角化的定义出发，为同学们讲解清楚求解矩阵相似对角化中可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 的步骤.
继续阅读“求解矩阵相似对角化中可逆矩阵 P 的步骤”有关这一步骤正确性的证明，可以查阅《矩阵 A 相似对角化中的可逆矩阵 P 为什么是由矩阵 A 的特征向量组成的？》这篇文章.
峰图 | 解这道题不需要记住公式，只需要撕下两个“纸条”
什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 阶的矩阵，$\boldsymbol{B}$ 为 $n \times m$ 阶的矩阵，$\boldsymbol{E}$ 为 $m$ 阶的单位矩阵，若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} = \boldsymbol{E}$, 则下面的选项中，正确的是哪一个？
⟨A⟩. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $n$, $\mathrm{r} (\boldsymbol{B})$ $=$ $n$.
⟨B⟩. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $m$, $\mathrm{r} (\boldsymbol{B})$ $=$ $n$.
⟨C⟩. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $n$, $\mathrm{r} (\boldsymbol{B})$ $=$ $m$.
⟨D⟩. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $m$, $\mathrm{r} (\boldsymbol{B})$ $=$ $m$.
峰图 | 通过构建折线形矩阵研究矩阵秩的几何形态及矩阵的秩在矩阵乘法运算中表现出的性质
什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.
目录
一、前言
二、正文
§2.1 折线形矩阵的定义
§2.1.1 稳态矩阵
§2.1.2 折线形矩阵
§2.2 折线形矩阵中矩阵秩的确定
§2.3 折线形矩阵的矩阵乘法运算及矩阵秩的变化
§2.3.1 基于折线形矩阵拆解矩阵乘法运算并构建投射关系图
§2.3.2 基于矩阵乘法的投射关系图构建叠影关系图
§2.3.3 基于矩阵乘法的叠影关系图证明矩阵乘法中秩的变化性质
§2.4 折线形矩阵的矩阵乘法运算及一些几何性质
三、总结
一、前言
在本文中，「荒原之梦」将通过定义折线形矩阵的方式，将矩阵的秩几何化，并通过推导得到的几何化视角，在矩阵乘法运算过程中，观察矩阵秩的变化.
继续阅读“峰图 | 通过构建折线形矩阵研究矩阵秩的几何形态及矩阵的秩在矩阵乘法运算中表现出的性质”